Netie Theorie der ultraelliptisclicn Fanctionen. 17 



bis zum Punkte «'-|-^''' + -B'''. Drittens durchlaufen wir die innere Seite von h^^ von d bis a", 

 kommen dadurch von der positiven Seite von «i auf die negative, also zu einem um yl''' klei- 

 nern Werthe; diesem Wege entspricht eine Curve (3) von ii 4- y1*^^ + -ß''* bis li + i?''^. 

 Endlich viertens durchlaufen wir die äussere Seite von cti, von ci' bis zurück zu dem Punkte «'", 

 von dem wir ausgingen, kommen dadurch von der positiven Seite von h^ auf die negative, 

 also zu einem um iJ^'^ kleinern Werthe; diesem Wege entspricht eine Curve (4), die uns 

 eben so zu dem Ausgangspunkte in C^ zurückführt, von «' + -5'^^ bis iL Diese vier Gurven sind 

 die Bilder der Querschnitte in der Z7-Ebene, sie ändern sich also mit diesen und umgekehrt. 

 Die Curve (1) ist mit (3), die Curve (2) mit (4) parallel und congruent, da sie resp. den bei- 

 den Seiten ein und desselben Querschnittes entsprechen. Der Mündungspunkt a hat sich ver- 

 möge seiner vierfachen Lage auf der einen oder andern Seite der Querschnitte auch vierfach 

 abgebildet als die Ecken der Figur. 



Dem Querschnittsysteme «.j, 6o entspricht ein ähnlich gebautes Parallelogramm. Sei der 



Werth von u im Punkte V" gleich ?<", welcher natürlich von n abhängt, j li' ^ «' -(- / du\%o 



a'" 



findet man eben so verfahrend als Bild der Querschnitte Oo, h.^ eine geschlossene Figur mit den 

 Ecken «", iC + A^'\ u" -^ A^'^ + B^'\ u" + B^-K 



Diese Parallelogramme sind beide geschlossen, sie können folglich nicht in derselben 

 Ebene liegen, da dann die Flächen getrennt wären und man aus der einen nicht zu jedem 

 Punkte der andern kommen könnte. Die die ?7- Ebene bedeckende inverse Fläche ist also 

 zweiblättrig, und es liege das erste Parallelogramm im obern, das zweite im untern Blatte. 

 Diese beiden Parallelogramme müssen zusammenhängen, da sie die Abbildung der zusam- 

 menhangenden Fläche J" sein sollen; wir haben also zu untersuchen, ob Verzweigungspunkte 



1 



existiren. Um einen Verzweigungspunkt u = m. für den lim (ii — »?)-' unendlich klein von der 

 ersten Ordnung ist, lässt sich ein endliches x nach steigenden Potenzen von (« — ?«)' entwickeln, 



, dx . c dx ^(ic, n, A, ix) 



und es muss dort-— oo werden wie ; — - ^ wu-d aber oo , wenn 7 -|- dx = 0, 



du (u—m)^ «« « 4- ß-v 



also hat die Fläche ?7zwei Verzweigungspunkte, die die Bilder der beiden dem Werthe .r = — — 



P 

 entsprechenden Punkte im obern und untern Blatte von T' sind. Dem Werthe ./• = cso, für 



den — auch unendlich wird wie ca."-, entspricht kein Verzweigungspunkt; denn angenommen 



ihm entspräche ein Verzweigungspunkt n, so wäre um diesen entwickelt 



X 



1 



+ ; "—i + C3 4- '"4 ("— ") ' + 



("—») (u—n)i 



da lim x'^ und lim als 00' angesehen werden , indem x = 00 in T ein Verzwei- 



guugspunkt ist und « = « als ein solcher angenommen wird in U. Dann würde aber für den 

 Punkt n 



dx Cj Co Ct 



du ~~ (u—n)- 2{u—n)i 2{u-np 



unendlich gross von der vierten Ordnung werden wie x", und nicht wie x'^ unendlich von der 

 dritten. 



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Denkschriften der matliem.-naturw. Ol. XXTV. Bd. Abhandl. von Niclitmitgliedern- C 



