18 Friedricli Prym. 



Die über die 6-Ebene ausgebreitete endliche Doppelfläehe hat also nur diese beiden 

 Verzweiti-ungspunkte, und zwischen ihnen setzt sich das obere Blatt in das untere und umge- 

 kehrt das untere in das obere fort, so dass x allenthalben eine stetige (einwerthige) Function 

 des Ortes in der Fläche ist. Die Begrenzungen dieser beiden Parallelogramme liegen nun auch 

 nicht o-etrennt, sondern wie in T die Linie c mit den beiden Querschnittsystemen eine in sich 

 zurücklaufende Curve bildet, die die Fläche 2" begrenzt, so Avird das Bild von c auch die 

 getrennten Begrenzungen in der fZ-Fläche verbinden. Zu beiden Seiten der Linie c hat die 

 Function n denselben Werth, daher geben sie in der Abbildung eine inid dieselbe Curve, 

 deren beide Seiten mit den übrigen paarweise parallelen Stücken eine in sich zurücklaufende 

 Curve als die ganze Begrenzung der Fläche ?7 bilden. Die Linie c verbindet die äussere Seite 

 von bi mit der äussern Seite von a.,\ der erstem entspricht in ü die Curve von ii bis 

 u -\- A^^\ der zweiten die Curve von u" bis it" -\- B^^K Das Bild von c wird also diese beiden 

 Curven verbinden, und demnach wird die ganze Begrenzung ein Bild wie Fig. 4' geben, wobei 

 die in der untern Fläche verlaufenden Linien punktirt sind. 



§. 7. 

 Nachdem Avir so die Abbildung der Fläche Z"in ihren allgemeinen Umrissen skizzirt haben, 

 soll unsere speciellere Aufgabe jetzt sein, unter Voraussetzung einer bestimmten Gestalt der 

 Quersclmitte die vier Halbebenen, aus denen die Fläche Z" besteht, jede für sich auf der 

 L^-Ebene abzubilden. Die Gestalt der Querschnitte in der Fläche Tist wie schon oft bemerkt 

 innerhalb gewisser Grenzen ganz willkürlich; mit ihrer Änderung ändert sich aber auch 

 nothwendig die Begrenzung von U, da diese ihnen in den kleinsten Theilen ähnlich ist. 

 Machon wir die Querschnitte geradlinig, so wird auch die Begrenzung von U aus geraden 

 Linien bestehen. Dies erreichen wir, wenn wir die Querschnitte möglichst zusammenziehen, 

 so dass sie sich an die Abscissenaxe geradlinig anlegen und wir uns frei, d. h. ohne auf einen 

 Querschnitt zu stossen, in den ganzen Halbebeuen bewegen können. Haben wir sie möglichst 

 zusammengezogen nach jeder Eichtung Ijin, so dass sie auf der Abscissenaxe gemessen auch 

 den kleinsten Eaum annehmen, und z. B. der Querschnitt a^ sich mit allen seinen Punkten an 

 den Verzweigungsschnitt — 1 anlegt, so kommt der Punkt d in die unmittelbare Nähe des 



Punktes 1, der Punkt b in die unmittelbare Nähe des Punktes — , und die Linie c geht gerad- 



1 1 f^" . . . . 



liniff vom Punkte — bis zum Punkte — : wir können also imuier zwischen zwei aufeinander- 



folgenden Verzweigungspunkten integriren, ohne auf einen Querschnitt, der mündet, zu 

 stossen. Wir nennen die Halbebene links von der Abscissenaxe oben (I), die Halbebene 

 rechts oben (11), die links unten (IIT). die rechts unten (IV). Wir werden sehen, dass diesen 

 vier Halbebenen, die unter sich vollkommen gleich sind, auch vier symmetrische Bilder in 

 der t^-Ebene entsprechen, die zusammengenommen die ganze Abbildung von T' geben. 



Ad L Die Halbel)ene I wird von der linken Seite der Abscissenaxe begrenzt, uiul wir 

 befinden uns dabei auf der negativen Seite sämmtlicher Querschnitte. Für den Anfangswerth 

 ic ^ sei H' = 0, dann ist: 



L 



r\ ^. a- = bis X = 1 



/ da = K { ,, T^ 



\ du = K'i '" =1 ^'^ ^ = 7 



"i ( " = ^^' V U = K + K'i 



