Jdu=- 



/ du = Li 



Neue Theorie der ultraelliptischen Functionen. 19 



1 



1 



K—L 



a; = — bis x 



H = Ä' -f K'i „ u = K'i — L 



a; = — - bis x = 



£ I «= /v'/ — ■ Z „ u = /^'/^ — L -f L'« 



X2 



7 



5. / du = L 



1 



/ (/» = — K'i — L, 



x = — bis a; ^ oo 



u = K'i — L + L'i j, « = K'i -\- Li 



X ■= — c» bis X = 



u ^= K'i -\- L'i „ u = 



Die Integrale haben hier die im §. 5 aufgestellten Werthe, weil wir uns bei der Inte- 

 gration in der obern Fläche auf der linken Seite der Abscissenaxe befinden. P^s bedarf noch 

 einer Erklärung, ob der Werth von u derselbe bleibt, wenn wir von 4- oc) zu — oo gehen. 

 Nach unserer Annahme, dass die Fläche im Unendlichen geschlossen sein, also dem Werthe oo 

 überhaupt nur ein Punkt entsprechen soll, versteht sich dies eigentlich von selbst, da u in der 

 ganzen Fläche T' endlich und stetig ist. Dasselbe lässt sich aber auch leicht beweisen, wenn 

 wir die Halbebenen nicht als geschlossen und von der in sich zurücklaufenden Abscissenaxe 

 begrenzt, sondern von einem unendlich grossen ebenen Halbkreise im Unendlichen begrenzt 

 denken, dessen Durchmesser die Abscissenaxe von — oo bis -|- oo ist. Dann müssen wir, 

 um von + oo zu — oo zu gelangen, das Integral f du durch diesen unendlichen Halbkreis 

 erstrecken, setzen also darin x = re^', dx = re^' . d(j . i, lassen r gegen oo convergiren und inte- 

 griren von = bis 6 ^ ti;. Der Werth des Integrals ergiebt sich dann gleich 0, so dass auch 

 auf diese Weise unsere Annahme der Identität der Punkte — oo und -(- oo gerechtfertigt 



du = / du^K'i-\- Li. — . Das Bild von I ist demnach die Figur I„. 







Ad IL Die Halbebene II hängt mit I in der Fläche T zusammen längs 



( — oo und 0) (1 und —) (-^ und ^, 



zwischen diesen Grenzen hat also du und folglich auch f du denselben Werth wie sub I, für 

 die übrigen den entgegengesetzten, da wir uns dort auf der andern Seite der Verzweigungs- 

 schnitte befinden. Es folgt: 



( r = bis 



« = 



1. fdu= — K 



■2. pdu = K'i 



1 

 1 



3. / du = K -\- j 



a: = 1 bis 



u = — K y, u =^ — A' + K'i 



X = - bis 



y.' 



u = — K -\- K'i „ 



