Neue Theorie der ultraelUptischen Functionen. 21 



Ad IV. Die Halbebene IV hängt mit II gar nicht zusammen , die Integrale haben den 

 entgegengesetzten Werth wie dort. Pem Punkte a' ^ entspricht u = 2K'i, da dieser Punkt 

 derselbe wie sab III; man hat also: 



1. fdu = K 



1 



du = 



2. / du = — K'i 



1 



3. fdii = — K—L 



'•/• 



du = — L'i 



1 



a: =: bis »■ = 1 



u = 2K'i „ u = A' + 2K'i 



a^ ^ 1 bis X = — p 



u = K + 2K'i „ u = K + A"/ 



a- =: -7 bis X ^ — 

 X" X" 



u = 7v 4" K i ri II = K' — L 



a: ^ — his .V = — 



u = K'i — L y, u ^=^ K'i — L — Li 



fdu = 



1 1- 



a' = — bis a" = 00 



u = K'i — L — L'i „ u = Iv'i — L'i 



X ^^ — 00 bis .T = 



u = Iv'i — Jj'i „ u = ilv'i 



n 



6. / du = Iv'i + /;/ 



— OS 



Dieser Halbebene entspricht die Abbildung IV„, die mit II„ keine Strecke gemeinsam 

 hat. 



Setzen wir diese vier Abbildungen zusammen (s. Fig. 5), so erhalten wir ein natur- 

 getreues Bild der Fläche T', ganz wie unsere Skizzirung es auch erheischte. Aus dieser 

 Abbildung ist leicht zu sehen, wie sich x als Function von ti in der Ausdehnung eines 

 Zweiges u, den die Fläche T' von den übrigen trennt, verhält, x als Function von u hat zwei 

 Zweige, die wir mit cpi («) und 90 (") bezeichnen, entsprechend den beiden Parallelogrammen 

 im obern und untern Blatte. Im ersten Zweige ist sie einwerthig bestimmt innerhalb eines 

 Parallelogrammes mit den Perioden 2lv und 21'L'i unter Voraussetzung des Aufangswerthes 

 9i (^) =0; im zweiten einwerthig innerhalb eines Parallelogrammes mit den Perioden 2L und 

 2L'i. Ein jeder Zweig ist für sieh doppelt periodisch, von einer vierfachen Periodicität 

 kann also bei dieser Betrachtung keine Eede sein. Die beiden Seiten eines Querschnittes 

 stellen sich in der Abbildung dar als zwei parallele und congruente Linien, deren entspre- 

 chende Punkte um den Periodicitätsmodul des betreffenden Querschnittes auseinander liegen. 

 Alle Functionen, die rational aus x und s zusammengesetzt sind, haben zu beiden Seiten der 

 Querschnitte denselben Werth, da sie in T eiuAverthig und stetig sind; sie haben demnach in 

 derselben Ausdehnung wie a? als Functionen von « betrachtet auch in den entsprechenden Punkten 

 paralleler und congruenter Begrenzungsstücke der Abbildung U denselben Werth. Man hat 

 also, je nachdem u auf einer Begrenzungslinie liegt, die der imaginären oder der reellen Axe 

 parallel läuft und in der Fig. 5 resp. am meisten nach links oder am meisten nach unten liegt: 



