22 Friedrich Frym. 



9, U + 2/5:) = cf , (m) , cp, (m + 27v '0 = 9, {v) ; 



cp, (w + 2Z) = 9, («) , 92 (« + 2i'o = 9. (") ; 



ähnlich wie bei einer doppelt periodischen Function in dem Werthumfauge eines Parallelo- 

 grammes; nicht aber gelten diese Gleichungen für Punkte im Innern der Fläche, da dann 

 ih + 2Ä', u ■\- ^K'i etc. ausserhalb des Flächenstückes fallen, für das nur die Functionen cp 

 bestimmt sind. Wir erkennen hieraus, dass so lange man nur einen Zweig von 11 betrach- 

 tet, sich also in 7" Jiält, man u als vollkommen bestimmte Function von x, so wie x als voll- 

 kommen bestimmte Function von u ansehen kann, ohne dass dieselbe darum einen ana- 

 lytischen Ausdruck zu haben braucht, der sie in ihrem ganzen Werthumfange repräsentii't. 

 Ebenso können wir, wenn wir mehrere Zweige von u betrachten und abbilden, deren Anfangs- 

 werthe endlich verschieden sind, im Umfange derselben u als Function von x und x als Func- 

 tion von u betrachten; setzen wir z. B. in der obern Fläche C an alle Seiten des dort liegen- 

 den Parallelogrannnes ähnliche an mit den entsprechenden kleineren Parallelogrammen in 

 der untern Fläche und füllen auf diese Weise das ganze obere Blatt aus, so wird durch diese 

 Figur X als einwerthige Function von lo repräsentirt im Umfange all' der Zweige, die vQn dem 

 ursprünglichen nur um Vielfache der beiden Periodicitätsmodulen 27v und 2/v '« sich unterschei- 

 den. Anders verhält es sich aber, wenn wir alle Zweige, also den ganzen Werthumfang von u 

 in T in Betracht ziehen ; einem jeden Zweige von u entspricht nämlich ein solches Doppelparal- 

 lelogramm, und da man als dem Punkte x=0 entsprechend jeden beliebigen Punkt ii^^u^ 

 annehmen kann, der als Anfangswerth die Lage des Doppelparallelogramms bestimmt, so 

 werden nach Abbildung aller Zweige auf jedem Punkte u unzählige viele Parallelogramme 

 übereinander liegen, so dass zu einem Werthe von n unzählige nur um unendlich kleine 

 Grössen verschiedene Werthe von x gehören , wie ja auch umgekehrt zu einem Werthe von 

 X unzählige Werthe von u. 



Man kann hier noch eine Bemerkung, die elliptischen Functionen betreffend, machen. 

 Setzen wir nämlich ß = 0. X ^0, [ji = 0, so wird « ein immer endlich bleibendes elliptisches 

 Integral, und die Begrenzung der Fläche T' redueirt sich auf ein Querschnittsystem «j, h^, da 

 zwei Verzweigungspunkte ausgefallen sind. Als Abbildung dieses Querschnittsystems ergiebt 

 sich nur ein Parallelogranmi, und die Fläche i[7 ist einblättrig; zu einem Werthe von «« gehört 

 nur ein Werth von x. Man kann nun alle Zweige abbilden, indem man die ganze f7-Ebene mit 

 diesen Parallelogrammen ausfüllt, und in der ganzen Ausdehnung bleibt x eine einwerthige 

 doppelt periodische Function von u, wie es ja auch die Theorie der ellij)tischen Functionen 

 lehrt. 



§. 8. 



AVir haben durch unsere bisherige Untersuchung gefunden: 



1. wie sich u als Function von x verhält, wenn man nur einen Zweig betrachtet; 



2. wie sich unter denselben Verhältnissen x als Function von u verhält; 



3. dass man allgemein u weder als Function von x, noch umgekehrt x als Function von u 

 betrachten kann. 



Seien mm u^ und u.^ zwei immer endliche Integrale von der Form wie /t , die nicht lineai 

 von einander abhängen, also 



■" ( a -]- ßx) dx r''{a-\-ß'x)dx 



«1 = / — , U., = I — =:z= 



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