Neue Theorie der uUraeUiptischen Fimctioiieii. 23 



wir setzen fest, dass die Integrationswege bei beiden dieselben seien, und bezeichnen die den 

 vier Querschnitten entsprechenden correspondirenden Modalen resp. mit 



^<", B^l\ Af, Bf , A^\ B[p, A}^\ m\ 



so sind, wenn der Werth von x\s bestimmt ist, die Werthe dieser Integrale in der Fläche J" 

 bei gegebenen Anfangswerthen auch bestimmt als 



uf : mJ/' 



es sind dies die directen Integrale, deren Wege keine Querschnitte schneiden. In der Fläche T 

 dagegen sind sie ohne Voraussetzungen über den Integrationsweg völlig unbestimmt, indem 

 dureh Integrationen um die Yei'zweigungspunkte beliebige Vielfache der Periodiciiätsmodulen 

 addirt werden können. Allein da die Integrationswege der beiden Integralen dieselben sein 

 sollen, so ist, wenn die Änderung cp von zi*/' definirt, dadurch aucli die gleichzeitige Änderung 

 (}> von «ff' fest bestimmt, denn ist: 



u, = «i'' + mAf + nB'P + o.4f' + pBf, 

 wo 7n, }f, o,j) beliebige ganze Zahlen bezeichnen, so ist nothwendig: 



u., = «i^-' + m^w ^ nBip + o^f + ^BP, 



da die beiden Integrale durch gleichzeitige Umläufe um die Verzweigungs])unkte sich auch 

 gleichzeitig um die correspondirenden Modulen ändern müssen. 



Es gehören also zu einem Werthe von x,.s unzählig viele correspondirende Werthsysteme 

 Ui I u.,. Ist nun der Werth x.s und der Werth u^ gegeben, so ist dadurch der Werth von m,, 

 wenn er überhaupt ein endlicher ist, eindeutig bestimmt, d. h. zu einem Werthe von x,s und 

 von «1 kann nur ein endlicher Werth von u., gehören , nicht mehrere. Denn dann ist 



u, — u['^ + cp, 



und 9. was uns bekannt ist, da ,r und ?f^ gegebene Werthe haben sollen, Ist in die Form 

 zu bringen: 



cp = TO.4<^> + nB['^ + o^f + jjBfK 



Angenommen, dies könnte noch auf eine andere Weise geschehen, so dass 



cp = m'Af^ + n'i?i') + oA<^p + i/Bf 

 wäre, so folgte daraus: 



JO = (7}i-ni) A':^ + («—«') B['^ + (0—0') A!p + (p—jy) Bf\ 



Jetzt sind zwei Fälle zu unterscheiden : 



1. Die Grössen 771, m' etc., die ja ganze Zahlen bedeuten, seien endlich, dann kann die 

 letzte Gleichung nur bestehen , wenn m = m, n = n etc. , denn anders würde sie uns eine 

 lineare Eelation zwischen den vier unabhängigen Periodicitätsmodulen ergeben, vermöge deren 

 sie sich auf drei reducirten, was allgemein nicht stattfindet. Demnach sind die Grössen m, 

 n, o^ p nur einwerthig als ganze Zahlen bestimmbar, d. h. durch den Werth von cp ist auch die 

 Zunahme von«^'^ 



cj> = mAf + «j5f,'' + o A^ 4- ji Bf 



einwerthig bestimmt, also auch der Werth n.> = uf -j- fj*. 



