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2. Siud die Grössen w, m etc. aber unendlich, so ist die letzte Gleichung wohl möglich, 

 dann ist aber der Werth von t|;, folglich auch der von u., unendlicli und als sok'her voll- 

 kommen unbestimmt. 



In diesem Sinne ist es gerechtfertigt, wenn wir in unserer Einleitung setzten: 



u-2 —fi («1 I •*■) 

 «1 =/i («2 I •'■) 



wo /ä und y'i Einwerthigkeiten bezeichnen, so lange sie überhaupt endlich sind. Diese 

 Beziehungen fordern uns auf, den Werth von x als abhängig zu betrachten von den corre- 

 spondirenden Wertheu u^ \ tb und zu untersuchen , ob der Ausdruck .r = cp (ii^ | u.,) eine 

 Berechtio-uug hat. Da x beim Überschreiten der Querschnitte ungeändert bleibt, so muss die 

 Function 9, wie sie auch sonst beschaffen sein mag, ungeändert bleiben, wenn wir u^ | zi^ um 

 zusammengehörige, d.h. an demselben Querschnitte statttindende Periodicitätsmodulen ändern, 

 sie wird folglich, ihre Existenz einmal angenommen, vierfach periodisch sein. Ob cf 

 eine einwerthige Function ist, vnid ob dadurch der Werth von x ganz allgemein bestimmbar, 

 hängt davon ab, ob wir u^ \ u., durch x\bschreibung gleicher Vielfacher der correspondirendeu 

 Periodicitätsmodulen auf eine oder mehrere Weisen in die Form m'/^ | idf setzen können, so dass 

 die Gleichung i' ^ cp («1 | ?/.) = cp (z^""' | e4''' ) stattfindet. Diese Frage ist rein graphisch nicht zu 

 lösen und sie wird ihre Beantw^ortung erst im analytischen Tiieile erhalten; war werden finden, 

 dass die Werthe ??i | u., bestimmten Bedingungen genügen, in Folge deren x einwerthig durch 

 sie bestimmbar ist. 



Somit ist der graphische Theil erledigt. Seiner mehr hodegetischen Natur gemäss ist 

 Manches weniger allgemein, dafür aber anschaulicher dargestellt worden. Die Beschrän- 

 kungen betreffend die Grössen a, [3, x, X, fi waren uns nur zur bessern geometrischen Darstel- 

 lung der Inversion nöthig; die übrigen Resultate bleiben ohne diese Bedingungen die- 

 selben, imd für die Folge heben wir sie auf, da sie auf dem rein analytischen Felde keinen 

 Einfluss haben. 



§. 9. 



Es bleibt noch übrig, den Charakter der fünf als Functionen von u^ | tc^ darzustellenden 

 Formen : 



l/x, \ 1 — .r, V 1 — x-x, V 1 — X'x , V 1 — (x-x- 



zu untersuchen, der in vielen Beziehungen ein merkwürdiger ist. W^ir legen dabei die allge- 

 meinere Figur 6 zu Grunde (mit Wegiassung der Linien l, die von d und b ausgehen), in der 

 die Verzweigungspunkte eine ganz beliebige Lage haben. Eine jede dieser Functionen w-ird 

 in einem Verzweigungspunkte der Fläche T0\ und alle werden sie im Punkte a; =:: cx) : 00' von 

 der ersten Ordnung (s. §. 3). Da einem Verzweigungswerthe x in der Fläche 7' nur ein 

 Punkt entspricht, der den beiden Blättern gemeinsam ist, so werden die fünf Functionen Jede 

 nur einmal 0' inid 00', und die beiden Punkte, wo dies geschieht, sind zugleich für sie Ver- 

 zweigungspunkte. Sie sind nicht wie die Fläche T verzweigt, da sie sich sonst rational durch 

 X und Ä würden ausdrücken lassen, was unmöglich ist; in Folge dessen sind sie keine ein- 

 werthigen Functionen (k^s Ortes in der Fläche, sondern in einem jeden Punkte derselben kann 

 man die beiden Wcrtlic, die die Functionen für denselben Werth von x dort haben können. 



