Neue Theorie der ultraMliptisdien Functionen. 25 



hervoi'bringen je nach dem Wege, den man einschlägt. Geht man z. B. in der obern Fläche T 

 in einer geschlossenen Curve um die Punkte — 1, — r — tt? so kommt man wieder zum 



Anfangspunkte x^s zurück: allein die vier ersten Functionen haben dann den entgegen- 

 gesetzten Werth erhalten, da man für jede um einen Punkt, wo sie sich verzweigt, herum- 

 gegangen ist, die fünfte nur kehrt zu ihrem Anfangswerthe zurück. Geht man in einer 

 geschlossenen Curve um alle drei Verzweigungsschnitte (Fig. 3), so kehren alle Functionen 

 zu ihrem Anfangswerthe zui'ück, eben weil von jeder die beiden Verzweigungspunkte, der 

 endliche und der unendliche, innerhalb der Curve liegen. Der Werth der Functionen ist also 

 vom Wege abhängig und er ändert sich beim Umlaufe um eine gerade Anzahl von Verzwei- 

 gungspunkten der Fläche 1\ da nur ein solcher Umlauf zu demselben Punkte x,s zurückführt, 

 und dabei an dem Ausgangspunkte diejenigen Functionen entgegengesetzte Werthe erlangen, 

 von denen ein Verzweigungspunkt innerhalb der durchlaufenen Curve liegt. Daraus folgt, 

 dass wenn wir durch gewisse Linien die Umläufe um je zwei Verzweigungspunkte verhindern, 

 indem wir festsetzen, dass die Wege der Functionen diese Linien nicht überschreiten dürfen, 

 in der so entstehenden Fläche die Functionen einwerthig bestimmt sein und längs der Linien 

 gewisse Unstetigkeiten annehmen w^erden. Eine Fläche derart ist aber J", denn u ist in T auch 

 nur durch die Möglichkeit des Umganges um eine gerade Anzahl von Verzweigungspunkten 

 mehrwerthig, und wird diese entfernt durch die Querschnitte, so ist in der dadurch entstan- 

 denen Fläche u allenthalben einwerthig bestimmt. 



Eine weitere Frage ist demnach, wie sich unsere fünf Functionen bei Beschränkung ihrer 

 Wege auf die einfach zusammenhangende Fläche T' verhalten, und in welchem Verhältnisse 

 die Werthe der dadurch allenthalben einwerthig bestimmten Functionen zu beiden Seiten 

 der Querschnitte zu einander stehen. Überschreitet man einen Querschnitt, d. h. geht man 

 von einem Punkte auf der einen Seite zu demselben Punkte auf der andern, indem man 

 den in ihn mündenden Querschnitt durchläuft, so bleiben diejenigen von den fünf Functionen 

 ungeändert, von denen kein oder beide Verzweigungswerthe innerhalb des durchlaufenen 

 zweiten liegen: ihr Werth ist demnach in einem Punkte auf der einen Seite derselbe wie in dem 

 entsprechenden Punkte auf der andern Seite, mit anderen Worten, sie erlangen beim Überschrei- 

 ten des ersten Querschnittes den Factor + 1. Diejenigen von den fünf Functionen aber, von 

 denen ein Verzweigungswerth innerhalb des zu durchlaufenden in den ersten mündenden 

 Querschnittes liegt, haben auf der einen Seite des ersten Querschnittes den entgegengesetzten 

 Werth wie auf der andern, d. h. sie erlangen beim Überschreiten von ihm den Factor — 1. 

 So haben z. B. die vier ersten Functionen am Querschnitte a^ alle den Factor — 1, eben weil 

 der Querschnitt 6, um einen allen vier gemeinsamen Verzweigungspunkt x^oo herumführt; 

 die Function Vl—\)?x dagegen ist am Querschnitte a<^ stetig, d. h. erlangt den Factor -f 1, 

 weil der Querschnitt />, ^^in i\ive beiden Verzweigungspunkte — j und oo führt. Diese Factoren 

 bleiben dieselben, auf ■welchem Wege man auch in T' von der einen Seite eines Quer- 

 schnittes auf die andere gehen mag, denn die Functionen können auf einem Wege 

 erstreckt nur dann in einem Punkte den entgegengesetzten Werth ei'halten wie auf einem 

 andern, wenn sie Umläufe um eine gerade Anzahl von Verzweigungspunkten machen. Solche 

 Umläufe sind aber sowohl im obern wie im untern Blatte von T' unmöglich; man stösst dabei 

 immer auf Querschnitte. Daraus folgt, dass wenn wir einmal für einen Punkt der Begrenzung 

 von T" die Werthe der Functionen festgesetzt haben, (z. B. für ;r = « im obern Blatte den 



Denkschriften der mathem -uaturw Ci. X\IV. Bd. Abliaudl. von NichlmitgUedern. d 



