Neue Theorie der ultraelliptischen Functionen. 27 



ZWEITER THEIL. 



Analytik des Problems. 



1. 



Die D-Function und ihre Eigenschaften. 



§• 10. 



Ehe wir dazu übergehen, die Ausdrücke für die fünf darzustellenden Functionen zu 

 bilden, müssen wir eine eigenthümliche Function betrachten, die wir als den Keim der dar- 

 zustellenden ansehen können, und deren genaue Keuntniss uns mit Sicherheit zur voll- 

 kommenen Lösung des vorgelegten Problems führen wird. Zu jeder Classe transcendenter 

 Integrale gehört eine solche Function, und sie alle begreift man unter dem gemeinsamen 

 Namen der ö-Functionen wegen der Ähnlichkeit des Baues und der Eigenschaften mit der 

 zuerst von Jacobi so benannten Transcendenten auf dem Gebiete der ellijjtischen Functio- 

 nen. Die Theorie dieser Functionen vom allgemeinsten Gesichtspunkte aus hat Rlemann 

 gegeben (Theorie d. Ab. F., pag. 41 u. ff.); wir wiederholen im Folgenden mit wenigen 

 Zusätzen seine Theorie, specialisirt für den vorliegenden Fall. 



"Wir betrachten zunächst eine zweifach unendliche ö-Reihe: es ist dies eine zweifach 

 unendliche Eeihe, in welcher der Logarithmus des allgemeinen Gliedes eine ganze Function 

 zweiten Grades der Stellenzeiger ist. Sie hat die Form: 



ö(^.K'-3)= 2 2 



öSi.i'w" -}- 2«! oWM -|- a.,„ji- -\-2mVi-\-2nv2 



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mit "Weglassung eines beliebigen Constanten Factors. Die drei Grössen «ii, «125 0^2,2 bezeichnen 

 beliebige Constante, die Summation ist über alle ganzzahligen Werthe der Stellenzeiger m 

 und n auszudehnen, und die Summe der Reihe wird als Function der Grössen v betrachtet. 

 Diese Reihe convergirt, so lange Vi und ?', endlich bleiben, wenn der reelle Theil von 

 a^-^m^ + 2aj oVi7i -\- a„^^ir für jeden Werth der Zahlen m und n wesentlich negativ ist. 

 Diese einwerthige Function von i\ und j\, hat nun die folgenden Eigenschaften : 



1) Schreibt man statt m: — m, statt n: — n im allgemeinen Gliede, so bleibt der 

 Werth der Reihe ungeändert, da man dadurch nur die Ordnung der Summation umkehrt. Sie 

 hat dann aber dieselbe Form, als wenn man in der ursprünglichen statt v^ \ z'j : — v^\ — i\ 

 geschrieben. Man sieht, die ö ist eine gerade Function der beiden Variablen: 



(1.) Ö0',|n) = ö(-e>,| — ^;,). 



2. Die Function ist in Bezug auf jede der Variablen periodisch mit der Periode r«', da 

 durch Zunahme von v^ oder von v.^ um T,i das allgemeine Glied der obigen Reihe resp. den 



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