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Factor e-"'~' oder den Factor e'-"'' erlangt, der, da m und n nur ganze Zablen sein dürfen, 

 beständig den Werth 1 hat. Daher ist : 



(2.) {v^ I V.,) = (y, + izi\ V.?) — Ö {i\ I V., + -/). 



3. Lässt man m um 1 wachsen, schreibt statt m: [m^l) in dem allgemeinen Gliede. so 

 erhält man, da dadurch der Werth von {> ungeändert bleibt, indem die Grenzen der Summa- 

 tion: — oo und -j- oo: sich nicht ändern, die Eelation: 



(3«) ö(z;,|y,) = e"''+'""&(r, + a,,>, + a,^,) 



schreibt man ebenso, während man m ungeändert lässt, statt ?^: (rt-)-l), so erhält man eine 

 ähnliche Relation: 



(3^) ö (r,lr,) = /'^^+""^ö (^'. + «,,|r, + «,,,). 



Es giebt also Systeme gleichzeitiger Änderungen der beiden Variablen, durch welche 

 sich log ö nur um eine lineare Function von ihnen ändert, (die auch sein kann wie sub 2). 

 Diese sollen Systeme zusammengehöriger Periodicitätsmodulen der Variablen genannt 

 werden. Durch diese Eigenschaften ist die O-Keihe vollkommen bestimmt bis auf einen con- 

 stauten Factor, denn wir erhalten umgekehrt von den Eigenschaften ausgehend wieder die- 

 selbe Reihe. 



Substitution. Wir substituiren nun für v^ und i\, zwei linearunabhäugige Integralfunc- 

 tionen u^ und »., mit gemeinschaftlichem Integrationswege, und für die zusammengehörigen 

 Periodicitätsmodulen der Grössen v zusammengehörige, d. h. an denselben Querschnitten statt- 

 findende Periodicitätsmodulen dieser Integrale. Dann müssen sich die Constanten a und ß in 

 den Integralen so bestimmen lassen, dass die Periodicitätsmodulen die folgenden werden: 



?< 



Uo 



und es braucht sonst zur vollkommenen Übereinstimmung mit den Systemen der Periodicitäts- 

 modulen von ?'i, V., nur die Relation «,_o = a.,^ zu existiren. In Avelcher Reihenfolge wir die 

 zusammengehörigen Periodicitätsmodulen den Querschnitten zutheilen, ist einerlei; die obige 

 Gruppirung empfiehlt sich durch ihre Übersichtlichkeit. 



Um nun die Functionen i<i «._> zu bilden, gehen wir von zwei beliebigen liuearunab- 

 hängigen endlichen Integralen aus, da wir wissen, dass jedes dritte linear dadurch ausdrück- 

 bar ist: es seien diese: 



/.) 



' ^ 



r''(x + ßx)d.c r" (c('+ß'x)dx 



.' y(x,y.,'A,ix) J V(,c.x., ?„, 



und ihre Periodicitätsmodulen: 



o, a., h, b., 



10., 



j(i) jp) 7>(.) ^f^) 



M^ jf-' i;i" Ä='. 



Diese vier Systeme gleichzeitiger Perioden sind aber nicht von einander unabhängig, son- 

 dern es existirt zwischen ihnen eine interessante Relation, die wir zunächst aulstcllen. 



