Neue Theorie der ultraelUpüschen Functionen. 29 



Wir betrachten 



lo^.dio.^ 



f 



und dehnen dieses Integral positiv, also in der Richtung der Pfeile, durch die ganze Begren- 

 zunar der Fläche T" aus. Da innerhalb derselben lo, und ic allenthalben endliche und stetige 

 Functionen des Ortes sind, so ist nach früherm Satze der Werth des Integrals = 0, da es durch 

 eine geschlossene Curve, die eine vollkommene Begrenzung bildet, geführt wird. Es wird 

 nun jede Linie «, b, e, zweimal, das zweite Mal in entgegengesetzter Richtung durchlaufen, 

 da die beiden Seiten dieser Linien zur Begrenzung gehören, und wenn man das erste Mal auf 

 der positiven Seite sich befand, so ist man, wenn man in entgegengesetzter Richtung durch- 

 läuft, auf der negativen. Mau hat also: 



/ tüj . dio., ^ = / zo^ . diot — I Wi • dw.> 



du- 

 dx 

 zweigte Function ist, so hat man diof = dw7i folglich: 



oder da dw^ zu beiden Seiten der Querschnitte denselben Werth hat, indem -j^ eine wie T ver- 



= / {lof — 10^ ) diOo 



wo das Integral eben so wie die beiden vorigen rechtsstehenden einmal durch alle Querschnitte 

 von Anfang bis zu Ende auf der positiven Seite in der Richtung der Pfeile zu erstrecken ist. 

 Die Differenz (lof — w^) ist längs eines Querschnittes a und b constant, sie Ist der Periodicltäts- 

 modul von lOi für den betreffenden Querschnitt, für die Linie c aber = 0, weil dort w über- 

 haupt stetig ; daher 



= fiiot—ioT) dw, = ^1<" fdw, -f Af fdw, + B['^ f dw., + 5'-' f dw. 



und die Integrale sind auf der positiven Seite In der Richtung der Pfeile durch den Quer- 

 schnitt von Anfang bis zu Ende auszudehnen, der oben am Integralzeichen steht. Es Ist nun 



fdic, = B^> , fdw, = Bf , fdio, = — M^ , Cdw, = — M\ 



denn so durchlaufen führen die Querschnitte a von der negativen auf die positive Seite 

 der b, die b dagegen von der positiven auf die negative der a. Substituirt man diese Grössen 

 so erhält mau die verlangte Relation: 



(M). = A!^^B<i^ + AfBf^ — ^w_ß(j) _ Af^Bf\ 



die überhaupt für je zwei ganz beliebige immer endliche Integrale gilt. 

 Setzen wir nun 



u^ = m^iOy + m,w.2 + Cj, 

 u., = 71^10 1 -\- n.;>Wo + Co, 



so fragt sieh, ob wir die Grössen m^. ?«_,, Wj, n, so bestimmen können, dass das aufgestellte 

 Schema der Periodicitätsmodulen für «j, u, erfüllt wird. Dazu muss sein: 



