30 Friedrich Vrym. 



1. für den Querschnitt a^: 



2. für den Querschnitt a.,\ 



= n, ^w + n., A« ; 



= m,A'{^ + m,Af\ 

 ru = n,A^^^ + n.,A^^', 



und durch diese Gleicliungen sind die Grössen m und «, folglieh auch ti^ und u., bis aut 

 additive Constante vollkommen bestimmt, demgemäss auch die zwei noch übrigen Systeme 

 der Periodicitätsmodulon für die Querschnitte b, die wir mit «ji, a.-,^ und a^,,, a.,,, bezeich- 

 net haben. Sollen nun diese letzten Systeme auch mit denen von v^, v., stimmen, so müsste 

 sein: o-i ., = «.,1, da die a in der ö-Reihe als ganz beliebige Constante weiter keinen Bedin- 

 gungen mehr unterworfen sind. Diese Eelation ergiebt sich aber sofort aus unserer Modul- 

 gleichung (3/), wenn wir darin statt der Periodicitätsmodulen von ^o^\^0o die betreffenden von 

 «ijU/j einsetzen, da sie für je zwei beliebige Integrale gilt,- sie liefert uns 



so dass damit die Möglichkeit der Substitution, so weit sie die Übereinstimmung der gleich- 

 zeitigen Änderungen der Variablen betrifft, bewiesen ist. 



§• !!■ 



Substituirt man die Integrale zt^ ii.y in die O-Eeihe, so convergirt sie, indem, wie 

 Riemann allgemein gezeigt, dann der reelle Theil von «iiTO- + 'ia.^jnn -\- «0,2'*" stets 

 negativ ist, wenn (wie in unserer Fig. 2 oder 6) die inneren Seiten der Querschnitte als die 

 positiven, die äusseren als die negativen betrachtet werden, nach welcher Annahme sich ja die 

 Werthe der Periodicitätsmodulen richten. Den Beweis wiederholen wir nicht, da auch oline 

 ihn das Verständniss des Zusammenhanges nicht ersehwert wird, und wir nur das Nöthigste 

 aus der Theorie der ö-Functioneu vorführen wollen. 



Die Functionen u.\u., sind bis auf additive Constante bestimmt, geben wir also den Inte- 

 gralen feste, bald zu bestimmende untere Grenzen, so können wir setzen: 



r\ = i(, — e, , t', = iL, — e., , 

 wo Ci I e, beliebige Constante bedeuten. Wir betrachten dann die Eigenschaften der Function 



(«1 — ei|»> — 6-2) in der Fläche J". 



Da Ui\u., immer endliche stetige Functionen des Ortes in der Fläche T' sind, so ist 

 auch i> (»1 — Pj j «o — e._) eine in der ganzen Ausdehnung von 7' endliche, stetige und 

 eindeutig bestimmte Function von x. Es fragt sich, wie verhält sie sich beim Überschreiten 

 der Querschnitte? 



Überschreitet man einen Querschnitt a, so ändert sich eine der Grössen u um tt?"; 

 dadurch wird aber der Werth der nicht geändert, sie bleibt stetig beim Überschreiten dieser 

 Querschnitte. Anders verhält es sich dagegen, wenn wir eine Linie b überschreiten. Für eine 

 Linie h, (v^i,2j ist, wenn wir von der negativen auf die positive Seite gehen: 



itt = »r + «1 ■ 





