Neue Theorie der ultraelUptisclien Functionen. 31 



& {ut — fi I ut — ^2) = & ("7 — f 1 + «1, V i 'T — «'ä + «2, v) 



= ö (;«! — 'a{^/., — (>.) 



e 



("v — «v) ■ 



gemäss der Eelationen (3") und (3*) des vorigen Paragraphen; wir erhalten also für den Quer- 

 schnitt 5,, indem wir dieWerthevon d (ö im Folgenden immer Abkürzung für ö iii^ — ei|?<2 — ''2)) 

 auf der positiven und negativen Seite mit &+ und &~ bezeichnen, die Gleichung: 



(i?) Ö+ = a-.e-'- («'-"•''--',... 



Demnach ist die f>-Funetion in der ganzen Fläche T endlich und stetig mit Ausnahme 

 der beiden Querschnitte 6. Beim Überschreiten der Linie i, erlangt sie den Factor 

 ß-2 ("; - cv) - "v, - ^ der aber keineswegs constant ist, sondern sich mit der Lage des Querschnittes 

 und längs desselben von Punkt zu Punkt ändert. 



Da die &-Reihe convergirt, so lange «j — e^\u.i — e., endlich sind, so folgt, dass die ö-Function 

 nicht unendlich wird. Es fragt sich, wie oft sie in T' 0' wird? und in welchen Punkten? Um 

 die erste Frage zu entscheiden, bedürfen wir eines Hilfsatzes, der wie folgt lautet: 



„Hat man eine stetige einwerthige Function des Ortes von x: f{x), die innerhalb eines 

 begrenzten einfach zusammenhangenden Flächenstüekes nur wird und nicht 00, so ist die 

 Anzahl der einfachen Nullpunkte der Function innerhalb dieses Flächenstückes gleich dem 



Werthe des Integrals 



^f'{x)dx 





2ki J f{x) 



positiv durch die Begrenzung des Flächenstückes erstreckt. Es wird dabei ein Punkt o, wo die 

 Function von einer höhern Ordnung wird, z. B. von der «'"" wie {x — a)", ebenso vielen 



einfachen Nullpunkten gleichgeachtet." 



fix) 

 Beweis: — ^— wird in dem Flächenstücke nur 00, wenn/(a3) = ; wirdy"(x) im Punkte a, 



f{^) ... . /■'(«) . n 

 der kein Verzweigungspunkt sei , gleich wie c [x — «)", so wird '—r — dort 00 wie . Nun 



j{x) X a 



ist aber das obige Integral auch gleich der Summe der Integrale in kleinen Kreisen und in 



positiver Eichtung um die Unstetigkeitspunkte der unter dem Integralzeichen stehenden Func- 



f'{x) 

 tion erstreckt, da wir alle Flächentheile, wo - — ^endlich bleibt, ausscheiden können. Um den 



/(•^) 

 Punkt a, wo/(a:;) von der re'^" Ordnung wird, erstreckt ist aber der Werth des Integrals gleich : 



— / — — = n. Wäre a ein Yerzweio:ung-spunkt, z. B. ein v-facher, so wäre dort (x — «) ' 

 27:1 J x—a ^ D fe F ) \ ^ 



= 0^, also (x^a) " = von der ?«"" Ordnung; unser Integral müsste, um das ganze den Punkt 



a in unmittelbarster Nähe einschliessende Flächenstück zu umfassen, v-Umläufe machen, und 



sein Werth wäre wieder n. Eben so verhält es sich für die übrigen Punkte, wo f{x) ^= wird, 



so dass der Werth des Gesammtintegrals gleich ist der Anzahl der einfachen Nullpunkte 



innerhalb des betrachteten Flächenstückes .q.e.d. 



Wenden wir dies auf unsere &-Fuuctiou an, so folgt, dass die Anzahl n der Punkte, wo 



sie in T" 0' wird, gleich ist dem Werthe des Integrals 



durch die ganze Begrenzung von T' positiv erstreckt, oder nach bekannter Weise: 



