32 Friedrich Pryvi. 



■wo dieses Integral einmal durch jede Begrenzungslinie von Anfang bis zu Ende in der 

 Eiclitung der Pfeile auf der positiven Seite zu erstrecken ist. Für die Linien a und c ist ö stetig 

 und dcmgemäss (rHog t}+ — t/log {>~)^0; für eine Linie b^ dagegen ist (cZlogö''" — fZlogö") 

 = — ^du.,, wie leiclit aus der Formel {B) erhellt. "Wir brauchen also nur durch die Linien b zu 

 integriren, und finden, da die Litegrale 



/ du^ = — -/, / dt(^, = — Tzi, 



gleich sind den negativen Periodicitätsmodulen für die zugehörigen Querschnitte a, dass 



Unsere Function f) (k^ — ej^o — e.) wird also in der Fläche T' für zwei Punkte 0', die wir 

 mit y;,, vj-, bezeichnen wollen. 



§. 12. 



Die zweite zu beantwortende Frage betraf die Lage der beiden Punkte , für die 

 die {> ^ 0' wird. Sind die unteren Grenzen der Litegrale u, | «,_, bestimmt, so hängt dieselbe 

 offenbar nur von den Grössen Cije, ab, denn diese sind alsdann die einzigen noch willkürliehen 

 Grössen in der O-Function. Bezeichnen wir die Werthe von «i|?^ in den Punkten y;i und y;,_, 

 resp. durch ai"jG(!,'' und a'i'\a'.p., so ist die Aufgabe, die Abhängigkeit dieser Grössenpaare von 

 dem Grössensystcmec'j'f^, aufzufinden. Die Beantwortung dieser Frage wird uns zugleich zeigen, 

 wie wir die unteren Grenzen ajß der Integrale i(.^\i(.,, über die wir noch nichts festgesetzt, 

 zu bestimmen haben, damit das Operiren mit der &-Function möglichst erleichtert werde. 



Zu diesem Zwecke betrachten wir in der Fläche 2" eine neue Function: 



2 = log a {u, — e,\ii,—e.;). 



Für die beiden Punkte, wo ö := 0', wird H = — oo wie rlog (x — «) für den Punkt a, 

 und durch Umlauf von x um einen solchen Punkt ändert sich E um + 2-ai, je nachdem mau 

 positiv oder negativ herumgeht. Die Function log ö ist also in der Fläche T' nicht mehr ein- 

 werthig bestimmt, da wir in jedem Punkte durch Umläufe um die Unstetigkeitspunkte belie- 

 bige Vielfache von ± 2T:i hinzufügen können. Um sie aber allenthalben eindeutig zu bestim- 

 men, müssen wir durch unendlich kleine Kreise die beiden Unstetigkeitspunkte ausschliessen 

 und diese mit der Begrenzung von T" verbinden. Zu dem Ende führen wir von dem kleinen 

 Kreise, der den Punkt 7], umgiebt, eine Linie l^ nach dem gemeinschaftlichen Mündungs- 

 punkte d der Querschnitte ßj und bi; eben so von yJo eine Linie L nach dem gemeinschaft- 

 lichen Mündungspunkte b der Querschnitte a., und b.,, und betrachten beide Seiten der Linien l 

 so wie die äusseren der kleinen Kreise als zur Begrenzung gehörig. (Siehe Fig. 6, die Punkte 

 T^ sind der bessern Zeichnung wegen im obern Blatte liegend angenommen.) Die so ent- 

 standene Fläche nennen wir T", und da sie die Unstetigkeitspunkte nicht mehr enthält, so ist 

 in ihr die Function log ö allenthalben eindeutig und endlich bestimmt. 



Li den Punkten auf der positiven (linken von den Punkten v; ausgesehen) Seite einer Linie 

 l ist dann log i) um -f 2-i kleiner als in den entsprechenden Punkten auf der negativen, da 

 man. um von der positiven Seite auf die negative zu gelangen, einen Umlauf um den betref- 



