Neue Tlieorie der idtraelliptischen Functionen. 33 



fenden Punkt tj machen muss. Durchläuft man l^ als Theil der Begrenzung aufgefasst positiv 

 (so dass der anstossende Flächentheil immer zur linken Hand liegt), vom Punkte ä auf der 

 negativen Seite von l^ bis zu demselben Punkte ä auf der andern Seite, so nimmt log ö um 

 2to ab , da wir von der negativen auf die positive Seite von l^ gekommen sind. Durchläuft 

 man, ohne die Linie c zu berücksichtigen, das zu /^ gehörige Querschnittsystem a^. b^ in posi- 

 tiver Richtung von ä aus, so kommt' man von der positiven Seite von /j auf die negative, und 

 log 9 nimmt nach dem vorigen Paragraphen um ^ru zu, da /(/(log &) positiv durch ein 

 System o, b erstreckt den Werth ^rd hat. Folglich bleibt log ö beim Durchlaufen eines Be- 

 grenzungssystems a, b, l ungeändert, oder da ein solcher Umlauf von der einen Seite der Linie 

 c auf die andere führt, so bleibt log in der Fläche T" beim Überschreiten der Linie c stetig. 

 Somit ist die Function log & in T" eindeutig bestimmt, und die Änderungen beim Überschrei, 

 ten der Begrenzungslinien lassen sich folgendermassen geben: 



für eine Linie l ist { log &+ — log &~ = — 2Tc^' 

 c iloo- !}+ — loo- i}~= 



e,,) — «,,_,, — h, 2 TT? 



(nach Formel B). (v = i, 2). Die Grössen g und h bezeichnen ganze Zahlen, da aus den For- 

 meln für die ö die Differenzen von log nur bis auf Vielfache von 2~i bestimmt sind. 



Es hängen nun offenbar die Grössen g und h und die Lagen der Punkte t] von den 

 Grössen eJeg ab. Um diese Abhängigkeit zu erforschen, betrachten wir 



/ 



log i) . du-^ 



und dehnen dieses Integral positiv durch die ganze Begrenzung von T" aus. Der Werth 

 dieses Integrals ist 0, da log und tc^ in der ganzen Fläche endlich und stetig sind; die Unste- 

 tigkeitspunkte -q^, -q., sind durch die kleinen Kreise ausgeschlossen. Bei der Integration wird 

 jede Linie a, b, c, l zweimal, das zweite Mal in entgegengesetzter Richtung durchlaufen; man 

 kann also auch das obige Integral einmal durch jede Linie von Anfang bis zu Ende auf der 

 positiven Seite in der Richtung der Pfeile erstrecken, muss dann aber unter dem Integral- 

 zeichen die Differenz der Werth e der Function auf der positiven und negativen Seite nehmen. 

 Man hat also, da für jede Linie duf = du~ ist. 



= Aog Ö . du, = /"(log !)+ — log &-) du,, 



wo das letzte Integral einmal durch jede Begrenzungslinie in der Richtung der Pfeile auf der 

 positiven Seite zu erstrecken ist. Die Werthc der Differenz log {>+ — log ^d^ sind für jede Linie 

 a, b, c, l oben aufgestellt, und für das Integral, durch die einzelnen Linien erstreckt, ergeben 



sich die Werthe wie folgt: 



1. für die Linien l erhalten wir als Werth des Integrals: — 2-i \ j du, + J du, | oder 



wenn wir den Werth von ii, im Punkte « mit ai\ im Punkt 6 mit d{^ bezeichnen, so resultirt: 



2-i I la';' — !:f4"'|; 



2. für die Linie c ist der Werth des Integrals 0. da für sie log 0+ — log &"::= 0; 



Dynkscbrifteu der mathem-naturw. Cl. XXIV. Bd. AlihandJ. von Nichtmirglitdcm. 



