34 Friedrich Pryvi. 



3. für eine Linie a., ist der Wertli des Integrals g^ 2%i 1 dui, oder da / du^= a^^^, so 

 ist der Werth des Integrals für die beiden Linien a, und a,, gleich 2Tu'E.g^ Oi,„. 



4. für eine Linie 5, ist unser Integral: 



r ' j— 2 (»; — e,) — «,,, — K 271/ j du, = f{—2u- — a,,,) du, + (2f', — Ä, 2tc2) ri«!, 



nun ist aber 1 du, = — t:/, / du, = 0, also, wie leicLt zu sehen, der Werth unseres Inte- 

 grals für sämmtliche Linien b gleich 



S j {—2u-—a.,^„) du, — (2e, — h, 2to) tu. 



Fassen wir alle diese Integrale zusammen, so erhalten wir als Werth des Totalintegrals: 



I. = 2to j V «<•'> — e, + h, tJ + S g., a, l + ^ f(— 2u- — a., J du, — 2:1/ Z aS"*. 



Schreiben wir in dem Integrale, von dem wir ausgingen, statt du,: du., und verfaliren 

 ebenso, so erhalten wir eine ähnliche Formel: 



IL Ü= 2izi J2a|;;" — e, + h, tu + I! g., «,, „ [ + - / (—2«; — «,,,) du,— 271? Sai'', 



wo dp, cdpj entsprechend den a['\ a[-^ in L, die Werthe der Function tc, für die Punkte d und 

 6 resp. bezeichnen. 



In diesen beiden Formeln ist jedesmal die zweite, nicht in \\ stehende Hälfte unabhängig 

 von den Grössen e, g, h und der Lage der Punkte 37, und hängt nur von den Anfangswerthen 

 der Integrale u,\u.2 ab. Setzen wir den Werth dieser zweiten Hälfte in I. gleich 2Tdk,, in 

 II. gleich 2-ik.j, so folgen die verlangten Eelationen: 



L e, = v< + k,-i+ :^g;(h.. + A;,, 



IL e, = S af,'' + h, Ti + S g., «..v + '^2- 



Die Grössen k, und k, sind unabhängig von der Gestalt der Querschnitte und der Lage 

 der Mündungspunkte ä und b: denn da die beiden Formeln für eine ganz beliebige Gestalt 

 der Querschnitte gelten, so müsste eine Veränderung dieser Gestalt, wenn sie die Grössen k 

 änderte, auch die übrigen Grössen in den Formeln ändern , was nicht der Fall ist. Demnach 

 hängen die Constanten k nur von den Anfangswerthen der Integrale ab, und es fragt sich, ob 

 wir diese letzteren nicht so wählen können, dass die Grössen k den Werth erhalten. Gehen 

 wir zurück auf unsere Function \}(u, — e,\u, — e,) und setzen darin 



statt u,\u.r. u, + t-il«._, + c,, 

 „ e,\e,: e, + c,\ c, + c,, 



so bleibt der Wertli der ti-Function ungeändcrt, da dadurch nur die Form, nicht der Wertli 

 der Argumente geändert wird. In Folge dessen bleiben auch die Punkte 7; und die Grössen g 

 und h dieselben ; geändert werden von den in den obigen Endformeln vorkommenden Werthen, 

 ausser den Grössen c,\e,, die in c, -f c, [e., + q übergegangen sind, nur die Grössen k, da sie 



