Neue Theorie der ultraelliptischen Functionen. 35 



von den Anfangswerthen der Integrale abliäugen, und die eben davon abhängigen Werthe 

 der in u^ -\- Cj | lu + c, übergegangenen u^\u„_^ in den Punkten yj, und zwar wird ans k^\h.^ : k[\K, 

 und aus aj'' j al'' : «i'^ + c, | al"' -|- c.,. Setzen wir diese geänderten Werthe in den beiden obigen 

 Gleichungen ein, die ja allgemeine Giltigkeit haben, so folgt durch Vergleichung mit den 

 ursprünglichen : 



fcj ^ Ici + Ci , h, = h., -\- Cj , 



nehmen wir also c^^^h^ c.;.^h., an, d. h. geben wir den Integralen ;f,|»2 um /j,|i'., grössere 

 Anfangs werthe, so dass u^ um h^ und il, um Ä;^ grösser wird, so folgt k\ ^ k'., = 0. Wir 

 können also immer, aber nur auf eine Weise die unteren Grenzen a|ß der Integrale «, |m„ so 

 bestimmen, dass in den darauf bezüglichen Gleichungen I. und II. die Grössen k den Werth 

 haben, und diese Grenzen a|ß sollen für die Folge angenommen werden. 



Das Abhängigkeitsgesetz, welches zwischen den Grössen e^\e., und den Punkten, wo 

 0(»i — c^\i(„ — e.,) verschwindet, herrscht, lässt sieh nun, da die Grössen k in den obic^en 

 Formeln gleicli bestimmt sind, einfach geben, wenn man bedenkt, dass das GTrössensystem 

 Cije^ sich von dem Grössensysteme 



V V 



nur um ganze Vielfache der zusammengehörigen Periodicitätsmodulen unterscheidet, indem 

 g und h ganze Zahlen sind. Nennen wir also ein Grössensystem P\ Q congruent einem 

 Grössensysteme p[ 2^ in Bezug auf die Periodicitätsmodulen der Functionen ti^\iu, wenn 



P = p + Yj.tt/ + 7,,. + Ya.öi^j + n-«i,2 ) 

 (? = !Z + Ti- + ■{-..rJ. -f- Y3.«j,2 + Y4.«.,2 , 



wo Yi, 72, Ys, T4 beliebige ganze positive oder negative Zahlen bedeuten, und bezeichnen dies : 

 P\Q^p\q, so folgt: 



in Worten: 



„Bei den hier gewählten unteren Grenzen a\y der Integrale ii^\u., sind die Grössen e,'e, 

 congruent Summen von je zwei Integralen I! a',''j^ et!,'' über die beiden Punkte r; ausgedehnt, 

 für die die Function i)(«i — e^\u., — e^) verschwindet.'^ 



2. 



Beweis der Möglichkeit der Lösung des vorgelegten Problems: x als eindeutige 



Function von u\u., zu bestimmen. 



§• 13. 



Nachdem wir im Vorigen die Eigenschaften der ö-Function kennen gelernt, ergeben sich 

 leicht daraus die folgenden Sätze, die uns zur vollständigen Lösung des am Ende der 

 GrajDhik vorgelegten Problems führen werden. Im Folgenden bezeichnen also immer 



') Um das Operiren mit Systemen solcher zusammengehöriger Grössen wie e^ \eo oder /j l/^ bezüglich des Wortausdruckes zu ver- 

 einfachen, notiren wir die folgenden symbolischen Bezeichnungen: 



«!k2=/iU3 identisch mit e, =/,, «2 ==/3 ; «i ka +/i I/2 = «'i +/) l«3 i/a ; «J.e, [«ä = rap, |»««o. 



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