Neue Theorie der ultraelUptisclien Functionen. 37 



genügt, man dieses immer, aber nur auf eine Weise congruent setzen kann einem Systeme 

 von der Form: — / du^ | — / da.,., also zwei negativen Integralen u.^\n., mit derselben ubern 



a ß 



Grenze. 



Beweis. Zu diesem Ende betrachten wir 



{}(«j — it^ -f ^1 1 u-i — lü + r._) , 



und es bezeichnen u\\ti.2 die Werthe von Ui\u2 in einem beliebigen Punkte .i',*': dann w^ird die 

 betrachtete ö-Function in diesem Punkte x'^s gleich 0, weil für ihn die Argumente sich auf 

 ry\r,2 reduciren. Die muss aber auch noch in einem zweiten Punkte verschwinden, und 

 bezeichnen wir diesen durch cr,,Si, so folgt nach 1: 



f/«i I u'.^ -f / du^ , 



du^ I — / du^. 



Angenommen, es sei noch eine zweite Zerlegung möglieh: 



dui I ■ — / du., : 



so folgt, wenn wdr dies in unserer i>(?<j — ?f'i + '>\\u.-, — ii.-, -|- r,) substituiren, die für Xys = x',s' 

 und a;,s = x'j,Si verschwindet, dass sie auch noch für a?, s ^ ar., s^,, also für einen dritten Punkt 

 verschwinden muss. Dies ist aber unmöglich, da sie wegen der Avillkürlichen Wahl von 'u\\u., 

 nicht identisch verschwindet. Somit ist der Beweis geliefert, dass wenn i^(?"j|'',.) ^*>, nur ein 

 Punkt a.],5, existirt derart, dass 



} r^r.^ ^iH — / c/«i I — / du.y \ 



' ö. [', ' 



Die betrachtete 0-Function wird nun 0, wenn wir x, s = a'j,6'i setzen: dann resultirt, da 



du^ — z<i + '■] I / dih., — ü., -\- r.,^^ — ?(', I — iL^ 



und da der Punkt x', 5' dem diese Integrale entsprechen, ein ganz beliebiger x-, 5 ist, so 

 folgt der wichtige Satz, der die Umkehrung des vorhergehenden ist: 



„Die Function ^{t\\v.^ verschwindet als Function von r identisch, wenn man für die 

 Argumente ■i\\i\, zwei Integrale u.\u.. mit derselben oberu Grenze oder ein diesen congruen- 

 tes System substituirt." 



Jetzt können wir auch einen Fall entscheiden (ob dies der einzige ist, werden wir im 

 Folgenden sehen), wo '\S{ii^ — e^\u,., — e,) identisch, d.h. für jeden Werth von x verschwin- 

 det. Dies geschieht, wenn 



Ci'.e, = 0|0, 



da dann u^ — e.^\u., — e^ sich auf ein u\u.2 congruentes System reducirt und, wie eben bewie- 

 sen, \v^\v.) -= ist, wenn t\\v2 ^ Ui\u.,. Lässt sich also das System e^'e., aus Vielfachen 



