38 Friedricli Prym. 



der zusammengehörigen Periodicitätsmodulen zusammensetzen, so verschwindet die !) durch 

 Substitution von tt,—t\\uo—e., identisch. 



4. -Ein beliebiges Grössensystem (\,\e.,, für das ö(?;i — e^\ii., — e,,) nicht identisch ver. 

 schwindet, kann immer, aber nur auf eine Weise Summen von je zwei Integralen con- 

 gruent gesetzt werden, so dass 



,v'n». ^:':,»u /.^l.'. /.^-^i»: 



e^\eo ^ / (h(t + / rhii \ / diu + / du.,."' 

 •i -{i "i 



Denn dann sind nacli Vorigem .r^.s, und .j\,, 5., die beiden Punkte, für die \}[ui — e, | u.^ — e,) ver- 

 schwindet, und könnte man e^'^c, nocli auf eine andere Weise congruent setzen, z. B. . 



fZ«! -f / dui I / du., -\- I du.. 



^'; - ' ■ / 



SO würde d(?<i — cj?/« — e.j) auch noch für :r,s=:i\,,s. und x, *■ = .rj, ä, verschwinden, was un- 

 möglich ist, da diese Function, wenn sie nicht identisch verschwindet, nur für zwei Punkte 

 bew'iesenermassen verschwinden kann. 



Verschwindet aber i>(«i — e,:?r, — rj identisch, d. li. für jeden Werth von .r, was einmal 

 der Fall ist, wenn e, je, e^ OjO, so muss sich das Grössensystem ei|e., auf unzählige Weisen 

 congruent setzen lassen Summen von je zwei Integralen, so dass 



dfi^ + / dui I / du., + / du.,, 



e,\e.2 ^^ j dv^ 4- / du^ | ' ' 



WO dem .r, s jeder beliebige Werth genügt. Die Lage des Punktes ?, o ist dann von der Lage 

 des Punktes x, s abhängig und ändert sich stetig mit ihr. Um dieses Abhängigkeitsgesetz zu 

 erforschen, differenziren wir die Congruenz, was erlaubt ist, da x vollkommen variabel. Sie 

 ist gleichbedeutend mit dem folgenden Systeme zweier Gleichungen: 



:, ^ / dui + / du^ , s-,= du., + / du.. 



wo Zi\b., Constante sind congruent c^\e.,. Es folgt also durch Differenziation : 



(a + h.r}dx {a+b£)d^ (a-\-h'x)dx (a' + b'^')d^ 



Eliminiren wir die Differentiale, so folgt als einzige Auflösung: ^ = x, und die Glei- 

 chungen zeigen, dass dann die beiden Wurzeln |/(.r, x, ^, (jij und \/{^,x,X,ii) dieselben absoluten 

 Werthe, aber entgegengesetzte Vorzeichen haben müssen, so dass, wenn zum Punkte x^x 

 der Werth (+ .s) gehört, zum Punkte 3=.r der Werth (■ — s) gehören muss. Demnach haben 

 die Pimkte x,s und 6, a eine solche Lage wie ,r, .5 und x, — 5. 

 Ist also (}(«, — i\\ii.., — e.,) identisch 0, so ist 



dui -f / dui I / du., + / du., 



für jeden Werth von .r; in Folge dieser Eigenschaft müssen alle Systeme c^\e.,, für die 

 t)(Mi — ■e^\u., — c„) identisch verschwindet, unter einander congruent sein, und da OlO ein solches 



