Nene Tlienrie der ultraeUlptisclien Functionen. 39 



System ist, indem ö(M,|^fo) = 0, so folgt, dass t)(i«i — e^\u., — e») nur identisch verschwindet, 

 wenn ei\e., ^ 0[0, und es ist dann das System p,|e, congruent Summen von je zwei Inte- 

 gralen ausgedehnt über die beiden Punkte r. v und .r, — v, die einem beliebigen Werthe 

 von r im obern und untern Blatte der Fläche entsprechen. Man hat also für jedeu Werth 

 von X die Cougruenz: 



oder auch 



duj^ + / du^ j / du.^ 4- f du.,, 

 c?Mi I / fZwo ^ — / dui\ — / du.,. 



Anmerkung. Es bedarf noch einer Erklärung, wesshalb, selbst wenn e,|e2 = 0|0, das Endresultat des §. 11 

 scheinbar n = 2 ist. Dies beruht auf der Formel (J5), die nur dann Giltigkcit hat, wenn die .5 in einigen 

 Punkten verschwindet, und dann giebt der Werth ?j = 2 noth wendig die Zahl dieser Punkte an. Ist aber 

 3- in allen Punkten identisch 0, so verliert die Formol (B) jegliche Bedeutung, indem dann allenthalben 

 .S+ = .5" = ist, und wenn wir sie doch anwenden, müssen wir natürlich ein falsches Resultat erhalten. 



Wir kommen jetzt zum Kernpunkte der ganzen Untersuchung. In der Graphik hatten 

 wir gefunden, dass zu einem Werthe von x, s unzählig viele correspondirende Systeme ti^ ] u.^ 

 gehören, die alle unter einander congruent sind, d. h. sich nur um zusammengehörige Perio- 

 dicitätsmodulen unterscheiden. Die Frage, die die Graphik nicht lösen konnte, war, ob wenn 

 ein System 'Ui\u., gegeben und in Folge dessen auch alle congruenten, dadurch der Werth von 

 X eindeutig bestimmt sei, ob man also 



setzen dürfe. Diese lässt sich jetzt sofort beantworten. Sind nämlich ?«, | u., überhaupt die 

 Werthe zweier demselben Punkte in T entsprechender Integrale, so muss für jeden Werth 

 dieses Punktes 



i){—u,\—u.^ = 

 sein, also nach 3: 



uAu 



I dui I / du./. 



und nur auf eine Weise ist diese Congruenz möglich, indem ein Grössensystem, für das die 

 D-Reihe versehwindet, nur auf eine Weise zwei Integralen mit derselben obern Grenze con- 

 gruent gesetzt werden kann. Demnach ist durch die Werthe des Systems Ui\u.,, wenn sie 

 numerisch für einen Punkt gegeben sind, dieser Punkt selbst eindeutig bestimmt. Ändert sich 

 ■Ui\u., stetig, indem Avir von einem Punkte zu benachbarten übergehen, so ändert sich auch x 

 stetig. Demnach ist x eindeutig als Function von u^lu., bestimmbar, muss sich also rational 

 durch diese Grössen ausdrücken lassen. Dieselbe Eigenschaft muss den fünf darzustellenden 

 Functionen zukommen, da sie in T' auch einwerthig als Functionen von x bestimmt sind. Sie 

 müssen sich also, so lange man in J" operirt, rational durch Ui\ti.2 ausdrücken lassen. Hiermit 

 ist die Möglichkeit der Lösung des Problems bewiesen, und es kommt nur noch darauf an, die 

 Ausdrücke für die Functionen zu bilden. 



