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Eine andere Auffassung des Problems der Inversion für diese Classe von Transcendenten 

 hat Jaeobi versucht in der schon citirten Abhandlung, und haben nach ihm ausgeführt Göpel ') 

 und Rosenhain -). Sie ergiebt sich leicht aus dem Lehrsatze sub 4. Setzen wir nämlich mit 

 Jaeobi bis auf Vielfache der zusammengehörigen Periodicitätsmodulen 



so folgt aus dem angeführten Lehrsätze , dass wenn die Werthe ven u und u' beliebig nume- 

 risch gegeben sind (so dass nicht u\it ^ 0|0)) die Werthe von o: und 7/ nur auf eine Weise 

 so bestimmt werden können, dass die Gongruenzgleichung: 



du^ + / dit^ I / du, -f / du. 



erfüllt wird. Lässt man ?« und it stetig variiren, so ändern sich auch x und y stetig. Dem- 

 nach sind X und // eindeutig als Functionen von u und w' bestimmbar, müssen sich also 

 rational durch diese Grössen ausdrücken lassen. Man kann also mit Jaeobi setzen: 



x = l{u,u) , ?/ = >/(«,»'), 



wo X und X' rationale Functionen von u und it bezeichnen. 



Diese Auffassung ist in gewissen Beziehungen allgemeiner als die unsrige, hat dafür 

 al)er den Nachtheil, dass durch sie der einfache Zusammenhang, welcher zwischen den drei 

 Grössen .r, Ui\ii', herrscht, verwischt wird. Die Functionen X und X' sind gewissermassen 

 Functionen zweier Variablen, indem die Werthe von u und ii! ganz beliebig angenommen wer- 

 den können und immer aus ihnen x uml y sich eindeutig bestimmen. Dagegen bei unserer 

 cp(e(]|t<j) sind die Grössen Ui\u, ihrer Natur nach immer an die Bedingung ■&(«, [««j) = ge- 

 knüpft, so dass eine Änderung von ?<, auch eine von u, bedingt und umgekehrt. Die 

 Function es ist demnach nur eine Function zweier Symbole, aber einer Variable. Die 

 Functionen cp und X haben das mit einander gemein, dass sie vierfach pcriodisc-h sind in 

 Bezug auf gleichzeitige Änderungen der Ai-gumente. Von dieser Eigenschaft sind Göpel und 

 Eosenhain in ihren ausgezeichneten Arbeiten ausgegangen, indem sie Reihen bildeten, die 

 Functionen von zwei Variablen mit vierfacher Periodicität darstellten, die algebraischen 

 Beziehungen zwischen ihnen untereinander und ihren Differentialquotienten ermittelten und 

 dann durch passende Substitutionen ultraelliptischer Integrale zu den inversen Functionen 

 gelangten. Wir sind den directen Weg gegangen, indem unsere ö-Function gleich schon als 

 Function von x eingeführt wurde, und daraus im Folgenden sich unmittelbar die darzustellen- 

 d(!n Functionen ergeben werden, ohne dass wir, wie die Vorgänger, nöthig haben, vorher die 

 Pielationen, welche zwischen den &-Iieihen bestehen, aufzusuchen. 



) Grelles Journal Ed. 3'): Tliooriae tr.insccriflentiuni Aliolianarvim prinii nrJinis aüumbratio levis. 



-) Memoire sur les fonctions de dcux variables et a quatro iiOriodcs, tome XI du Uecucil des savants etrangers de Paca- 

 dcmio des scicnces de Paris. 



