Neue Theorie der ultraelh'ptischen Functionen. 41 



3. 



Bildung der Ausdrücke für die darzustellenden fünf Functionen. 



§. u. 



Die d-Function können wir als den Keim der algebraischen Functionen ansehen und wir 

 wollen jetzt dazu übergehen letztere darzustellen. Da algebraische Functionen in der Fläche 

 T oder T' für gleich viel Punkte oo' und 0' werden, so nähern wir uns ihnen, wenn wir den 

 Quotienten von zwei ö-Functionen betrachten : derselbe hat wieder eine Eigenschaft mehr mit 

 den algebraischen Functionen gemein und wird uns leicht zu weiteren Resultaten führen. 

 Setzen also: 



R 



i^{ih—fi\u,—f.i) 



so hat dieser Ausdruck folgende Eigenschaften: er wird für zwei Punkte in T' oo' und 0\ 

 an den Linien a und c bleibt er ungeändert, denn die & sind dort stetig, beim Überschreiten 

 einer Linie 6, (v = i, 2) von der negativen auf die positive Seite erlangt 



ö(?<] — e^\u., — e.,) den Factor e"^^"'-'"''' ""'.' , 



daher erlangt 



( am Querschnitte i, den Factor e-'-''~-^'^ 



B ist demnach in T' eine einwerthige und stetige Function des Ortes von .r, die für 

 zwei Punkte co' und 0' wird und an den öuerschnitten constante Factoren erlangt. Könnten 

 wir nun diesem Ausdrucke Factoreu an den Querschnitten beibringen, die Quadratwurzeln der 

 Einheit wären, und suchten alle möglichen Formen, so müssten unter diesen die fünf vorge- 

 legten: Vx, Vi — X etc. einbegriffen sein. Um an allen Querschnitten die Factoren beliebig 

 zu erbalten, müssen wir noch eine Exponentialgrösse hinzufügen, schreiben also, indem A 

 eine willkürliche Constante bedeutet, 





dann bleiben die Punkte, wo B 00^ und 0' wird, ungeändert, und 



( am Querschnitte o, den Factor e^"""' 

 B erlangt { 



Es erlangt also B am Querschnitte a, den Factor ± 1, je nachdem wir a,, = oder = 1 

 setzen. Soll B am Querschnitte h., den Factor ± 1 erlangen, so haben wir nur bis auf Viel- 

 fache von 2-/ zu bestimmen : 



2 (e., — -f.,) + £i«i_, + BM.>,, = e'.,-i , z[ = oder = 1. 



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