Neue Theorie der vitraelliptischen Functionen. 43 



Wir erkennen daraus, dass der Gesammtzähler des Ausdruckes i? eine der ursprüng- 

 lichen ähnlich gebaute &-Reihe ist, nur mit dem Unterschiede, dass statt vi und n: m-\- -' und 



£ ff, J.i ^ 



w-| — ^ und statt v^\i\-^\ i\ — -T:i\v., — -rd gesetzt sind. Diese ö-Reihen wollen wir nach dem 

 Vorgänge von Riemann zur Unterscheidung von der ursprünglichen durch das Symbol f'J'r] 



bezeichnen, welches wir die Charakteristik nennen, indem es sammtliche ßestininiungsstücke 

 enthält. Dann ist also: 



(I) R = - ■"- 



und die Factoren an den Querschnitten a^, öi, o., , b., sind in derselben Reihenfolge: ( — 1}"', 

 (—1)-'', (— 1)S (— 1)^ Es ist ferner 





m='~oo n = — 00 



und in dieser allgemeinen Form ist auch unsere gewöhnliche ö-Reihe einbegriffen, indem 



Da die Grössen e, e' entweder r=0 oder = 1 sein können, man aber aus und 1 auf 2' ^16 

 Weisen Variationen zu vier Elementen mit Wiederholung bilden kann, so folgt, dass in 

 ö^;j7J(yi|i'o) überhaupt sechszehn Formen enthalten sind, und es fragt sich jetzt, wie viele von 

 diesen ■^-Reihen gerade, wie viele ungerade Functionen der Grössen v^lv^ sind. Bedenkt man 

 nun, dass der Werth der Reihe sub (11) nicht geändert wird, wenn man darin statt Cm -| — A 

 und ^n + ^") : — [m -\- ^^ und — ^n -\- ^\ schreibt, indem diese Grössen auch so alle 



ganzen oder halben Zahlen durchlaufen , wenn «i und n alle ganzzahligen Werthe von — 00 

 bis -|- 00 amiehmen: dadurch also nur die Ordnung der Summation umgekehrt wird: diese 

 Umschreibung aber in dem allgemeinen Gliede dieselbe Änderung bewirkt, als wenn man 

 statt Vi \ v.^: — t\\ — V.2 geschrieben und dann mit 



also mit einem constanten Factor multiplicirt hätte, da e-""''" ^ 1 := e'" '»'"', so folgt: 



(III) ö(;|a(.,|^.,) = (-i)^-+-^ö(;;;;)(-.,|- .,). 



Demnach ist die ö-Reihe gerade , wenn e^ e[ + e., al {z l] , ungerade , wemi e^ e[ -}- s^ e^ = 1. 

 Unter den sechszehn Formen sind sechs ungerade Functionen, und ihre Charakteristiken 



sind : 



/on /on ni\ /io\ no\ ni\ 

 \oiJi \ii,h \oiJj \if)J: \nji \ioJ- 



Die übrigen zehn sind gerade Functionen, mit den Charakteristiken: 



\od)i [oiji [uoji iiiij? (oüj) (11)) [lojj (.üi); (,00); Inj- 



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