Neue Theorie der tdtraelliptischen Functionen. 45 



stattfindet, und diese Congruenz kann für a;, s= .Tj, Sj nur die Form der vorhergehenden anneh- 

 men, wenn die beiden Punkte x, s und x, — 5 zusammenfallen, d. h. wenn Xj ein Verzwei- 

 gungspunlct ist. Da es sechs Verzweigungspunkte giebt, so werden demnach von den sechszehn 

 Systemen, die sieh aus Halben der correspoudirenden Periodieitätsmodulen bilden, sechs sich 

 in die Form [b] bringen lassen luid in Folge dessen die Gleichung («) erfüllen. Gäbe es mehr 

 Verzweigungspunkte, so würde die Gleichung (a) für mehr als sechs Systeme stattfinden, 

 d. h. es müssten auch von den geraden i)-Funetionen einige für i\\v.2 ^ OjO verschwinden, 

 und umgekehrt, verschwänden von den geraden &-Functionen einige, so müssten mehr als 

 sechs Systeme sich in die Form (6) bringen lassen, was unmöglich ist, da nur die sechs Ver- 

 zweigungspunkte dieser Congruenz genügen können. Daraus folgt, dass die Punkte, für die 

 die ungeraden i)-Functionen ausser für den gemeinsamen Punkt .r,.s=:r',.',' noch verschwin- 

 den, die sechs Verzweigungspunkte sind, d. h. wenn man in einer ungeraden O-Function 

 für die Argumente v^\v.2 die Integrale u^ — ■Ux\u., — ?<'^ substituirt, so verschwindet dieselbe 

 für den Punkt x', s' und ausserdem noch für einen bestimmten der sechs Verzweigungspunkte 



1 



0, 1, 00. 



X- 



Zu demselben Resultate können wir auch durch rein algebraische Betrachtungen gelan- 

 gen. Bilden wir nämlich den Quotienten von zwei ungeraden t>- Functionen; 



-il',\h,~u',) =,=; + ^=4=i. 



»(::;;](-'- 



5 



Ti, l'i + Tljliä = 



von 7?'= --i-V'^.—u-^-'W ^_i^.,^ ^_13..^ (_!)>>,, (_!)'.., 



öQ;g(»-";i".-«;) 



so hat derselbe folgende Eigenschaften. Für x, s ^ «', s werden Zähler und Neuner des 

 Ausdruckes zugleich 0\ r bleibt also in diesem Punkte endlich und wird demnach nur für 

 den einen Punkt 0^ für den die f> im Zähler noch verschwindet, und für den einen Punkt oo\ 

 für den die i> im Nenner noch verschwindet. Um die Factoren zu finden, die die Function beim 

 Überschreiten der Querschnitte erlangt, so wissen Avir, dass die Factoren 



«1 61 Oo ^2 



voni? = ^^ — (— 1)', (—1), (—1)) ( — ^J » 



ä{ri){Ui 2l[\lL, i/o) 



sind, daher sind die Factoren 



von r =-= äi^{«^n>.-uil \ (_ne. + . (_i)^:+V., (_!)-% + ''>, (-Ij^^ + ^i, 



w S){r:)(u—u,\u—u':) j ^ ^ ' ^ ^ ^ ^ 



indem wir allgemein statt ( — l)""^ dasgleichwerthige (da s, -/; nur oder 1)(— 1)'+'' schreiben. 



Demnach ist r eine algebraische Function, die in T' einwerthig, nur für einen Punkt 00 

 und U' wird und an den Querschnitten Factoren ± 1 annimmt. Es erlangt also r- an allen 

 Querschnitten den Factor + 1, ist demnach eine wie die Fläche T verzweigte algebraische 

 Function, die für einen Punkt 00'" und für einen Punkt 0" wird. 



Der allgemeine Ausdruck einer Avie die Fläche T verzweigten Function, die nur für 

 zwei Punkte 00* und 0' wird, ist aber (nach §. o) 



111 -)- 71 X 



m' -\- n'x 



