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wo m, m', n, n beliebige Constante bezeichnen, die tlieilweise auch sein können, wenn z. B. 

 der Ausdruck für a; := oo keinen endlichen Werth haben soll. In dieser Form muss also die 

 Function r' enthalten sein, und da dieser Ausdruck nur dann in einem Punkte oo'^ und (J- 

 wird, wenn wir die Constanten so bestimmen, dass die beiden Punkte, wo er oo\ so wie die, 

 wo er 0^ wird, zusammenfallen, er also nur in Verzweigungspunkten oo und wird, so folgt 

 daraus, dass der Quotient r zweier ö-Functionen, die für cc, s = x'^s beide verschwinden, in 

 einem Yerzweigungspunkte oo' und in einem andern 0' wird, und da es nur sechs Verzwei- 

 gungspunkte giebt, so verschwinden auch nur sechs von den sechszehn ^-Functionen, wenn 

 man die Argumente v^\v„_^ ^ 0|0 setzt. 



Hat man nun ■ so bestimmt, dass dieser Ausdruck für den Verzweigungspunkt, 



wo die 9 im Zähler verschwindet, 0^ und für den andern, wo die d im Nenner verschwindet, 

 CO" wird, so kann sich ?■'" von diesem Ausdrucke nur um eine Constante unterscheiden, und 

 man hat : 



r =: Const . I / ^^ 



y in' -\- t/'x 



I)er Werth dieser Constante ist offenbar von dem Punkte :/■',«' abhängig, für den der 



ö-Quotient unter der Form - erscheint. Da der Werth des Quotienten nicht geändert wird, 



wenn wir .r, s mit x', s vertauschen , indem dann Zähler und Nenner als ungerade Functionen 

 den Factor — 1 erhalten, so darf durch diese Vertauschung auch die rechte Seite der vor- 

 stehenden Gleichung sich nicht ändern, d. h. es muss sein : 



r = Constj , 



m' -\- II x' \ in -\- )ix 



wo jetzt Consti von x und x' vollkommen unabhängig ist. In dem Ausdrucke r sind demnach 

 alle algebraischen Functionen enthalten, die für einen Verzweigungspunkt oo' und für einen 

 andern U' werden, und an den Querschnitten Factoren ± 1 annehmen, demnach auch die fünf 

 darzustellenden Functionen: V x^ Vi — x etc.: die Aufgabe ist nur noch, für jede der sechs 

 ö-Functionen den ihr zugehörigen Verzweigungspunkt zu finden, für den sie ausser für 

 x,s = x',«' noch verschwindet. 



§. 17. 



Die sechs ungeraden &-Functionen sind nun, wenn wir ic^ — u[ | u., — u'., mit v^ | o., be- 

 zeichnen : 



1. yPi^l^^.) = Gonst.ö(., + ^ + ^ 1 ..-f + '^ + f)e-^-- 

 2.-0(:i)K|.,) = Const. ö(.', + ^' I V, -^' + ^>"= 



3. i)Q{v,\v.^ = Const. {)(?', -Y + "f ' ''^'~¥ + "f) '"' 



4. ÖGJ)(.>,) = Const.ö(., _ f + «^' + "^ I ., + "^ + '^j .- + •■• 



