Neue Theorie der tdtraellqitwchen Functioiicn. 47 



5. a(-)(t'>,) = Const.ö(t^ - 1^ + ^' I tu + 1:')e". 



6. 0(-)(^;,|^,) = Const.a(., _ ^ + '^^ | ^,, _ -J + "^^ e'\ 



Um für jede dieser Functionen den zugehörigen Verzweigungspunkt zu finden, für den 

 sie ausser für den Punkt x^s ^= x',s' noch verschwindet, müssen wir die Werthe des Inte- 

 gralsystems 



—j du, \— I i 



dui 



für sämmtliche sechs Verzweigungspunkte, als obere Grenzen, bilden, und dann untersuchen, 

 welchem von den sechs Systemen, in die die Argumente der rechts stehenden einfachen 

 ■&-Functionen übergehen, wenn man, der Gleichung x,s^x\s' entsprechend, die Grössen 

 y = setzt, ein jedes Tntegralsystem congruent gesetzt werden kann: denn es ist 







wenn x, den Verzweigungspunkt bezeichnet, für den die ungerade Function ö(£)(?/i — u\\u.i — u.,) 

 noch verschwindet, ausser für a;, ^ = »■', s'. 



du, = u^. — / du., = ;?p: Werthe, die wir einstweilen noch nicht ken- 



nen, indem wir die unteren Grenzen a und ß zwar so angenommen, dass die & bestimmte Eigen- 

 schaften erlangte, sie aber noch nicht ausgewerthet haben. Das nur wissen wir, dass die 

 Grenzen a und ß und folglich auch die Grössen ?<„ und u^ immer, aber nur auf eine Weise, 

 d. h. einwerthig so bestimmbar sind, dass sie den aufgestellten Bedingungen genügen. Die 

 Werthe der übrigen Integrale zwischen den Verzweigungspunkten, auf bestimmten Wegen in 

 der Fläche T erstreckt, kennen wir, da sie sich, wie wir früher gesehen (vergleiche §. 5), 

 durch Halbe der Periodicitätsmodulen ausdrücken lassen. Es ist nämlich : 



a,^, — — 2 fdu,, -Kl = 2 / du,^ ci,^„ ~ — 2 j du,, = 2 J du,; 



1 ^ 



a,, = — 2 fdu.i, = 2 / du,, a.,,^ = — 2 J du,, Tzi = 2j du,; 



wodurch zuzüglich der Relation: / dit + / du + du = alle Werthe bestimmt sind. Allein 



diese Integralwerthe entsprechen einem bestimmten Wege in der Fläche T, nämlich im oberu 

 Blatte in der Pvichtung der Abscissenaxe, auf der linken Seite der Verzweigungsschnitte, wo 

 solche zwei Verzweigungspunkte verbinden. Da wir aber hier in der Fläche T' operiren, so 

 kommt es darauf an, die Werthe in T auf die Werthe in T' zu reduciren, denn die Integrale 

 sind in T wegen der verschiedenen mögliehen Wege nur bis auf ganze Vielfache der zusam- 

 mengehörigen Periodicitätsmodulen bestimmt, in T' sind ihre Werthe aber vollkommen vom 



