Neue Theorie der ultraßlUptisclien Functionen. 



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müssen die Integral werthe vollkommen oongraent mit den sechs Systemen im Anfange dieses 

 Paragraphen übereinstimmen. Dass diese Übereinstimmung nur auf eine Weise mögür-h 

 gemacht werden kann, ist klar, da bis auf Ganze der zusammengehörigen Periodicitäts- 

 modulen u^u^ wie a und ß einwerthige Bestimmtheit haben; Avir erreichen sie, wemi wir setzen: 



«1,1 «l,-2 



•■ " "-'1 -> «"> ' 



dann stimmen die Werthe des lutegralsystems für die sechs Verzweigungspimkte vollständig 

 congruent mit den sechs Systemen, für die die & verschwindet, überein, und zwar so, dass in 

 der Reihenfolge, wie wir die i>-Functionen geschrieben, sie auch verschwinden für diePunk(e: 



0, 1, -, 



Ä=' 



1 



-, OO. 

 V-' 



Dividiren wir demnach die ersten fünf ö-Functionen durch die sechste, die für x' = od 

 verschwindet, so erhalten wir die folgenden Formen: 



I. 



= - i,{-l)< + ^^ = + 1: 



IL 



•S(ol)K — u[\ti.,—u',) i = 0' wenn a,' = 1 



■S-UiJ(mi — u[\u., — ti!.) 



= co' wenn .r 



Factorensystem: 



1, 



III. 



■^{1T)(u,—u[\u,—u!^ ]='^' wenn .r 



= oo' wenn x 

 — 1, 



Factorensystem : 



oo 



1 



OO 



— 1 



1, 



+ 1, 



1. 



IV. 



^( 



!i)(«i — u[\u,—u!^ 1=0' wenn .r =: — 



Factorensystem : 



= oo wenn x 

 + 1, 



oo 



1, 



+ 1; 



— 1; 



^(\l)(:u,—u[\u., — u',) ) = 0' wenn .r = 



Factorensvstem : 



= oo wenn x = oo 

 + 1, +1, 



+ 1, 



1. 



Man erkennt, dass diese fünf Formen mit den fünf darzustellenden Functionen sämnit- 

 liche bestimmende Eigenschaften gemein haben; sie werden für dieselben Punkte oo' und 0' 

 und erlangen an den Querschnitten dieselben Factoren (vergl. die Tab. §. 9), so dass sie sich 

 von ihnen nur um multiplicative Constante unterscheiden können. Penn bezeichnen wir z. B. 



Lleukschrifteu der malhem.-naturw. Cl. XXIV. Ed. Abliandl. von Niclitmifgliederu. ^ 



