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die erste Furni , die in ihren Eigenschaften mit Va- übereinstimmt, durcli 7\, so ist— ^ eine 



V.c 

 stetige Function des Ortes in T' . die für keinen Punkt oo und wird und an allen Quer- 

 schnitten den Factor + 1 erlangt: demnach ist sie wie T algebraisch verzweio-t und muss 

 da sie nicht oo wird, eine Constante sein. Wie diese Constanten in jedem speciellen Falle 

 von x' abhängen, haben wir oben discutirt; wie nämlich die ö-Quotienten so müssen auch die 

 ihnen äquivalenten algebraischen Ausdrücke symmetrische Functionen der Grössen x' und x 

 sein. Setzen wir nun zur Abkürzung: 



"i — "i = / dii^ = ?/,^', , u. — U, := / du 



du. = n', 



und schreiben statt der &-Functionen mit den Cljarakteristiken die ihnen entsprechenden cin- 

 iachen, um übersichtlicher die Constanten bestimmen zu können, so folgen die Endresultate; 



1. e " ^= c.V X \x 



-( «!.' — 7 + i" I "-■' — T + -., -) 



e -■' ^' = c.,V 1 — X VI — ./■ 



^(«^-, _ I _|_ '^ I «^.-, _ I + -lu^j 



HI. -^^ ^ ' iZ^^"-' -' =c,Vl-yrxVl—yrx 



Iv. e ;= c\\ \—k-x V 1 — A-d 



-(«i^' — 7 + ^1 "2.- - Y + i-") 



^«'-7 + T i«2:'-T + '^) 



= CäV 1 — /iV 1 1 — [i'x 



§■ 18. 



Hiermit ist das aufgestellte Problem in seiner allgemeinsten Form gelöst. Wir bemerken 

 zunächst, dass wenn wir die beiden Grössen x und x unbeschränkt variabel annehmen, die 

 links stehenden Ausdrücke Functionen mit ganz beliebigen Argumenten sind , indem man 

 j' und x' immer so bestimmen kann, dass das System ?(j;^,j »._,', jedem willkürlich angenomme- 

 nen Systeme ejeg congruent wird. In sofern wir aber dem x auch einen constanten Werth 

 beilegen können, ist die Möglichkeit gegeben, sowohl die rechts stehende Function von .r, so 

 wie die ihr entsprechende von .r', jede für sich, durch {>-Functionen mit bestimmten Argumenten 

 auszudrücken: in Folge dessen werden dann aurh die links stehenden Quotienten, die die Difle- 

 renzen zweier Integrale zu Argumenten haben, sich durch i)-Functionen, die die zwei Integrale 

 gesondert enthalten, ausdrücken lassen. In dieser zweifachen Auffassung berühren sich die 

 Jacobi'sche Theorie und die unsrige, indem beide, obwohl von verschiedenen Grund- 

 anschauungen auf verschiedenen Wegen ausgehend, zu den Endresultaten des vorigen Para- 

 graphen fuhren köimen. Nach der Jacobischen Theorie werden nämlich von Anfang an 



