Neue Tlicorie dir ultra^lli'ptlschen Functionen. 51 



Funetionen mit beliebigen Argumenten, die also zwei Variable wie oben enthalten, betrachtet. 

 während bei unserer Untersuchung die Einführung der Grösse x erst durch den Umstand 

 geboten erschien, dass eine d-Function immer für zwei Punkte 0' wird, luid demnach der 

 Quotient von zwei soleheu Functionen nur dann fü'r einen Punkt oo' und 0' wird, wenn 

 Zähler und Nenner für denselben Punkt x\ s' verschwinden. Wenn wir also im nächsten 

 Abschnitte zur Darstellung algebraischer Formen übergehen, die für zwei Punkte C5o^ und 0' 

 werden, so reisst der Faden der Analogie, der bei den vorliegenden Functionen die beiden 

 Theorien verknüpft. 



Unsere nächste Aufgabe soll jetzt sein, die fünf Constanten c zu bestimmen, indem wir für 

 T und ,r' Yerzweigungswerthe einsetzen: denn dafür sind uns auch die Werthe der Integrale 

 Uil>\u.^l< bekannt. Die Quadratwurzeln können für denselben Werth von .i' verschiedene Werthe 

 haben, je nachdem wir uns im obern oder untern Blatte der Fläche T' befinden, und wie wir 

 früher gesehen, kann man den Werth derselben in einem Punkte beliebig, positiv oder neo-a- 

 tiv annehmen, in Folge dessen sie dann in der Ausdehnung der ganzen Fläche T' einwerthio- 

 und stetig bestimmt sind. In den Yerzweigungspunkten haben aber alsdann die Functionen 

 immer nur einen Werth, da für sie oberes und unteres Blatt zusammenfallen, und diese 

 Werthe wollen wir mit Bezugnahme auf die Anfangswerthe durch die Quadratwurzeln ohne 



Vorzeichen bezeichnen, so dass z.B. VI — ^ der Werth der Function Vi — .r imPunkte - 



seni 



X" 



soll, den man dort durch stetige Fortsetzung in T' von dem Anfangswerthe -j- 1 (für x = 0) 

 aus erhält. Gleicherweise müssen wir dann auch, wenn alle Resultate stimmen sollen, 

 den Integralen die Werthe geben, die sie in T" haben, also die in der Gleichung (J") des 

 vorigen Paragraphen aufgestellten. Es ergeben sich nun leicht mit Berücksichtiguno- der 

 Formeln des §. 10 die folgenden Gruppen von Gleichungen, die einzeln den fünf aufo-e- 

 stellten Endgleichungen entsprechen. 



I. Der Anfangswerth von V x sei -f 1 für .r = 1. Die möglichen Combinationen von 

 Verzweigungswerthen, durch deren Einsetzung die Gleichung I nicht die Form = oder 

 oo = oo annimmt, sind: 



1. .t' = 1, X = 

 , _ 1 _ 



und wir erhalten durch ihre Einführung: 



j ^(-f + ^ + '^M - 7 + "f + i^O __ c. _ ^ ^(-? + "f 1^) 1-^^ _c-._ 



e- - - =-; 4 .- . . 



K-f\'¥) V- ^(-fjo) 



xä' 



' ' _ 3 ■> o - 1 ^ V :i 1 -J ' 2 ' 



0. e 



Tti — «1,2 



•^(-T+T^l^) "f"' ' -^(-1 + '^ + ^i-^ + ^ + i^=) '^V- 



