JSTeiie Theorie der ultraelliptischen Functionen. 57 



Integ-rale u\ Uo gehen alsdann in Halbe der zusaramengehörigen Periodicit'ätsmodulen über, 

 so dass die b--Functioneu die einfachen Argumente «ijwa erhalten. Wir bringen sie durch 

 Multiplioation mit constanten Factoren auf die Form: 





wo 



und erhalten für iede der fünf Functionen die folo-enden vier Formen: 



V a; 



^-^_ 'W^9 ■^WoA'^. I "■-■; _^ ■^('"°)('^i|w,) __ 6, ^(l';){ic,\u,) _ % 5| ■;)(;/! |;<,) ^ ,^ 



.6, 3(!i)(«,h.O .6, ^G';)(m,|w,) .6, -^Qf«,!?^.) 



Somit sind die fünf algebraischen Formen als einwerthige Functionen zweier linear- 

 unabhängiger Integrale ?'i|".. mit derselben obern Grenze .r. v, d. h. als Functionen einer 

 Variable wie verlangt dargestellt. Eben so ivönnen wir auch dieselben Formen mit x\ also 

 \ 'x\ V \ — .r', Vi — •/-./■', Vi — XV, Vi — [xV ausdrücken, wir brauchen nur in den obi- 

 gen Formeln statt u-^il^ : u^\iL einzusetzen. Führen wir dann diese Ausdrücke, die 

 u^\u.^ und ^i^\^ii gesondert enthalten, in die rechten Seiten der Endgleichungen des 

 §. 17 statt der dort stehenden sj'-mmetrischen Functionen von x und .r' ein, so erhal- 

 ten wir die fünf Quotienten von O-Functionen , die die Differenz oder auch Summe 



du,\— du, ist congruent j du^\ j du.^ nach §. 13, 4) zweier Integrale als Argu- 



mente enthalten, durch &-Quotienten, die die Integrale gesondert enthalten, ausgedrückt auf 

 mannichfache Weise, mit anderen Worten, wir erhalten die Additionstheoreme für eine 

 bestimmte Classe von Functionen in der Form: 



/(X + v,\ii, -f ^'o) = cp(^<l|^g.4'(^'J|^',) 



wo /, cp, ({; verwandte Formen sind und die Argumente u und v nur den Bedingungen zu 

 genügen brauchen: &(?<,[«,) = 0, 'd{v,\v.^ = 0. Wir verfolgen diese Relationen nicht weiter, 

 da unsere Hauptaufgabe die Darstellung algebraischer Formen ist, auch diese Additions- 

 formeln bei der beschränkten Veränderlichkeit der vier Grössen u^, u,, i\, v.. zu keinen all- 

 gemeinen Relationen zwischen den Functionen/, 'i, cj; führen. 



Deiikstbrifreii der mathein. -naturw. (.'I. X\IV. Ii<l. Abliaudl. von Nithtiiiiti;Ui.dern. U 



