58 Friedricli Prym. 



4. 



Discussion der allgemeinen in dem Ausdrucke E^ liegenden Formen. 



§. -20. 



"Wir haben im vorigen Abschuitte die Functionen untersucht, die in T' einwerthig und 

 stetio-, nur für einen Punkt oo' und 0* werden und an den Querschnitten Factoren + 1 

 annehmen. Wir fanden, dass ihre Anzahl eine begrenzte ist; es sind nämlich die fünf darge- 

 stellten, ihre reciproken Werthe, so wie Quotienten je zweier von ihnen. Zugleich ergaben 

 sich bei dieser Untersuchung die Werthe der Integrale Hi\u.2, mit den unteren Grenzen ajß, für 

 die sechs Yerzweigungspunkte. Zur Darstellung der obigen Functionen Avaren wir von einem 

 Ausdrucke 



f>p!^]("-/^l"-/;) 

 p ' '- . 



auso'oo'angen, in dem alle die algebraischen Functionen liegen sollten, die in T' einwerthig und 

 stetio-, für zwei beliebige Punkte oo^ werden und an den Querschnitten Factoren ± 1 

 erlangen; die Functionen, die nur für einen Punkt oo' werden, hatten sich als specielle Fälle 

 dieses Ausdrucks R ergeben, den wir jetzt ganz allgemein discutiren wollen. 



fZ»i 4- / f7«i I / du, -\- / du.,, wo wir die Punkte x\, .Viund .ro..s., 

 « 'ß 'ß 



ganz beliebig annehmen können, indem das Grössensystem/j |/„ vollkommen willkürlich ist: 

 es wird dann R für die beiden Punkte x^^s^ und ,7-o, *>oo^ Ebenso können wir die Grössen 

 £, £ (0 oder 1) oder, was dasselbe, die Factoren ( — 1)'', ( — 1)'', ( — 1)'% ( — 1)% die der Aus- 

 druck der Peihe nach an den Querschnitten a^. l\, a.,, b.^ annimmt, beliebig wählen (als -f 1 

 oder — 1), dann sind aber dadurch die beiden Punkte, für die B 0' wird, vollkommen bestimmt, 

 sie fmden sich als XyS^ und x^,s^ aus der Congruenz: 



.' , ' ^ ^^i, «3 /^''i.»» /^^3:»3 ^n.-'i 



J\ + j-' — r i^^i.v \A+ y^^'— r y "2,v =J (iuy +J dUi \J du., i-J du, , 



deren linke Seite das Constantensystcm der D-Function im Zähler bildet. 



Da es ausser ("") noch fünfzehn verschiedene Charakteristiken (j! J;] giebt, so folgt, dass 

 in dem Ausdrucke li zu dem bestimmten Xenner i)(»i — /i|"2 — fd fünfzehn verschiedene 

 Zähler gehfiren können, und die dadurch festgelegten algebraischen Functionen haben alle 

 fünfzehn das mit einander gemein, dass sie für dieselben beiden Punkte oo' werden, und 

 unterscheiden sicli nur durch die Punkte, wo sie 0' werden, oder durch die Factoren an den 

 Querschnitten, die ja mit den Punkten, wo der Zähler 0' wird, gemäss der letzten Congruenz 

 in wechselseitiger Abhängigkeit stehen. II' erlangt, da die Grössen £ nur oder 1 sein 

 können, an allen Querschnitten den Factor -f 1 . ist demnach eine wie die Fläche T ver- 

 zweigte algebraische Function, die für die beiden Punkte .'\,s^ und x,,s, cx)- wird und für 

 zwei andere von diesen abhängige 0". 



