Neue Theorie der ultraeUlptisclien Functionen. 59 



Um den dem ö-Quotienten B' äquivalenten algebraischen Ausdruck zu bilden, betrachten 

 wir eine Function, die für vier Punkte oo' und 0' wird. Eine solche ist (nach §. 3) in der 

 allgemeinen Form 



F=a 



s + y^x' + 7 ,*■- + 73.C + 7, 



enthalten. Zähler und Nenner von F werden für .t^oo:oo^ also auch für sechs Punkte 0'. 

 Da der Neuner des Ausdruckes vier willkürliche Constante y enthält, so können wir ihn in 

 seinen Constanten so bestimmen, dass er für die beiden Punkte x^,s\ und Xo, s., 0'^ wird; er wird 

 dann ausserdem noch für zwei andere, von den beiden abhängige Punkte 0'. Die vier Con- 

 stanten c des Zählers müssen wir so bestimmen, dass derselbe für die beiden Punkte, wo der 

 Nenner noch ausser für a;i5i mid X2,S2 verschwindet, auch 0' wird. Dies giebt zwei Bedingungs- 

 gleichungen, der Zähler behält zwei willkürliche Constante und wird ausser für die beiden 

 Pnnkte, die er mit dem Nenner gemeinsam hat, noch für vier Punkte 0\ Setzen Avir diese vier 

 Puiakte paarweise einander gleich, so dass also der Zähler für zwei Punkte 0'^ wird, so ent- 

 stehen dadurch zw-ei Bedingungsgleichungen, die die noch willkürlichen zwei Constanten des 

 Zählers bestimmen. Auf wie viele "Weisen diese Bestimmung möglich ist, können wir aus dem 

 Vorigen schliessen Da es nämlich nur fünfzehn verschiedene Formen B'- giebt, die für die- 

 selben beiden Punkte oo"'^ werden, so folgt daraus, dass sieh die beiden letzten willkürlichen 

 Constanten des Zählers von F auf fünfzehn Weisen so bestimmen lassen werden, dass derselbe 

 für zwei Punkte 0'^ wird, die sechszehnte Weise abgerechnet, wo der Zähler mit dem Nenner 

 vollkommen identisch würde , indem c\ = 71 , c.^=^ -(., etc. auch eine Lösmig der Aufgabe ist. 

 Im Allgemeinen werden sich also die beiden letzten zu bestimmenden Constanten als Wurzeln 

 zweier Gleichungen ergeben, die im günstigsten Falle vom sechszehnten Grade sind. Einer 

 jeden der fünfzehn Formen F wird nun eine Form B^ entsprechen, die für dieselben Punkte 

 00'- und 0^ wird und sich demnach von ihr nur um eine Constante untei'scheiden kann; es 

 lassen sich demnach immer die Grössen c und 7 für jeden ö-Quotienten B so bestimmen, dass 



p ^ ,, g + c.x" -f c,x' -t- c^x + c, 



' ~ " ■ s + 7ia;' -1- y,x- + 73a; -|- 7, 



Dies ist die Form für B im allgemeinen Falle, wenn die Punkte 2\,ö\ und x.,,s.2 ganz belie- 

 bige sind. In sjjeciellen Fällen können sowohl Zähler wie Nenner des obigen Ausdruckes frei von 

 s und blosse Functionen von x sein, die Betrachtung wurd dadurcli nicht geändert. Das Eesul- 

 tat der Untersuchung ist, dass die Bestimmung der den ö-Quotienten äquivalenten algebraischen 

 Ausdrücke zwar möglich, nicht aber auf dem angedeuteten Wege ausführbar ist, indem die 

 Unlösbarkeit von Gleichungen höherer Grade sich entgegenstellt. Wir betreten desshalb einen 

 andern Weg, der von speciellen Formen ausgehend uns synthetisch zu den allgemeinsten führen 

 wird, indem wir die folgenden drei Fälle in Betreff der Grössen y\ |/j unterscheiden. 



1. Es sei 



/: lA^-^TU + S^ «,. \-^^i + S^ a,,„ (■/;, vj' =0 oderl) 



d. h. congruent beliebigen Halben der zusammengehörigen Periodicitätsmodulen. 



h* 



