yeue Theorie der ulfraellq'tischen Functionen. G 1 



Wir kennen (iiacli §. 17) die Werthe der Integrale «j | »^ für die sechs Verzweigungs- 

 punkte, sie drücken sich durch Halbe der zusammengehörigen Periodicitätsmodulen aus. Com- 

 biniren wir diese Integralsysteme zu je zweien, oder, was dasselbe, führen für x, und x., in der 

 obigen Congruenz immer je zwei verschiedene Verzweigungsjjunkte ein, so erhalten wir die 

 fünfzehn möglichen Systeme von Halben der zusammengehörigen Periodicitätsmodulen, nämlich : 



a 



Der Übersichtlichkeit wegen steht neben jedem Systeme der Halben der correspondiren- 



den Periodicitätsmodulen die Cliarakteristik (s) derjenigen Function i}(£)(hJ«<2), die als einfache 



Ö-Funetion geschrieben (§. 15, IL) dasselbe als Constantensystem enthält. Man erkennt, 



dass in r^ nur solche Functionen enthalten sind, die für Verzweigungspunkte oo' und 



Ü' werden; ihr algebraischer Ausdruck setzt sich demnach aus den fünf ursprünglichen 



Functionen zusammen und kann sich von dem betreffenden ö-Quotienten, mit dem er für 



dieselben Punkte oo' und 0' wird, jedesmal nur um eine Constante unterscheiden. Wir wäh- 



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 len zum Nenner von r^ die Function ^f,){u,\u.?|, die für .r = 1 und x; = - 0' wird und geben 



ihr die vierzehn übrigen der Reihe nach als Zähler; aus der obigen Tabelle ersehen wir sofort 

 die Punkte, für die der jedesmalige Quotient oo' und ü' wird, und bilden demgemäss die alge- 

 braischen Ausdrücke. Wir erhalten: 



