Nene Theorie der ultraelliptischen Functionen. 63 



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Es bedarf wohl keiner Bemerkung mehr, dass der Quotient der Quadrate zweier (^-Fun- 

 ctionen, z.B. ' " , ganz ungeändert bleibt, sowohl wenn man die einzelnen Glieder der 



Charakteristiken um ± 2 ändert, als auch, wenn man für i\\t\ beliebige andere congruente 

 Systeme einsetzt: er ist in Bezug auf gleichzeitige Änderungen der Variablen um Einzelne der 

 vier Systeme zusammengehöriger Periodicitätsmodulen periodisch, also eine vierfach perio- 

 dische Function. 



Die Constanten ergeben sich nun wie folgt: 



Das Formelsystem (i^j) stimmt vollständig mit dem Systeme (i^) des §.19 überein, indem jedes 

 aus dem andern abgeleitet werden kann. Da es nur fünfzehn Functionen ö(/^'](;fi|2'>) giebt, iu- 



15. 14 



dem &(oo)(»i|"2) ftir jeden Werth von x identisch verschwindet, so sind in /'i — - — Functionen 



enthalten, die sieh alle aus {F^) durch Division je zweier Formeln ergeben. Das Factorensystem 

 ist für jede in den Charakteristiken enthalten, denn, wie wir schon früher bemerkt, nimmt 



ä{B ){u-fM.-f.;) 



an den Querschnitten der Reihe nach die Factoren (—1)''+"', (— 1)''+''', (—1)''+"=, (—1)^^+"' 



an, und dieser Ausdruck geht in r^ über, wenn xhüxx f^\f.-, = 0|0 setzt. Rechnet man die 



15 14 

 reciproken Werthe der — ^ — Functionen auch als selbständige Formen, so giebt es im Ganzen 



15.14 Functionen rj; diese zerfallen in fünfzehn Gruppen, wenn man alle die Functionen, die 

 für dieselben Punkte 00^ werden, als zu einer Gruppe gehörig betrachtet, und jede Gruppe ent- 

 hält dann wie (Fj) vierzehn Functionen; sie zerfallen ebenso in fünfzehn Gruppen, wenn man alle 

 die Functionen, die an den Querschnitten dieselben Factoren annehmen, zu einer Gruppe rechnet. 

 Die sub [F^] stehenden algebraischen Functionen sind nicht die einzigen, die in T' ein- 



werthig und stetig, für cc = 1 und x = —; co' werden und an den Querschnitten Factoren 



