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+ 1 annehmen, aber es sind die einzigen von dieser Art, die sieli als Quotienten von zwei 



i)-Functioucn darstellen lassen. Alle übrio-en sind in der Form ^^zzziz — :^=^ enthalten und 



V\—x Vl — l^x 



werden für zwei demselben Werthe von x entsprechende Punkte 0'; eine ö-Function 

 \)(n,^ — eAu., — e,,)) '^^^ ebenso 0' würde, hat aber keinen Sinn, denn ihr Constantensystem e.^\e<, 

 wäre congruent 010 luid sie selbst verschwände identisch. 



Zneiter Fall: 



/il/i ^^j du, \j du., = u[y,. 

 « ß 



Erfallt das Constantensystem /il/. die Bedingung &(/i!yl,) = 0, so lässt es sieh immer 

 in die Form setzen: 



/1I/2 ^ j du, \ I du, -^ u[\u'. 



und zwar nur auf eine Weise. Der Ausdruck 7? und alle übrigen, die durch Division zweier 

 Ausdrücke JR mit demselben Nenner b(^u, — /\\u, — -f.,) und verschiedenen Zählern entstehen, 



sind dann in der allgemeinen Form 



?•„ = 



h;: :!)(«. 



u, — u',) 



^G;S)("— "^1"— "^) 



enthalten. Da alle sechszehn Charakteristiken vorkommen können, so gehören zu einem 

 bestimmten Nenner fünfzehn verschiedene Zähler; die dadurch entstehenden Functionen r, 

 lassen sich als Hauptformen ansehen, in sofern aus ihnen durch gegenseitige Division alle 

 übrigen sich ergeben; sie haben alle fünfzehn die beiden Punkte, wo sie 00' werden, gemein 

 und unterscheiden sich nur durch die Nulljumkte oder durch die davon abhängigen Factoreu 

 an den Querschnitten. 



Den algebraischen Ausdruck für r, haben wir schon hergestellt für den Fall, dass sein 

 Zähler und sein Nenner ungerade l>-Functionen waren (vergl. §. 17); zum gemeinschaftlichen 

 Nenner hatten wir die Function ^^(^')(«l — u[\u, — u',) genommen, die für j\s:=.r',s' und für 

 .{■ ^ cx:i : 0' wurde. Wir behalten diesen Nenner bei und geben ihm der Reihe nach jede der 

 zehn geraden D-Functionen als Zähler; können wir diese Quotienten algebraiscli ausdrücken, 

 so sind alle Hauptformen dargestellt. Betrachten zu dem Ende 



wo also der Zähler eine gerade i> ist, so hat dieser Ausdruck folgende Eigenschaften. 



1. Er ist eine wie T verzweigte algebraische Function, also rational durch .r und ,v 

 ausdrückbar; wird oo" für x,s = x', 6-' und für a.- = 00; wird O" für die beiden von ./'.V abhän- 

 gigen Punkte, für die die i) im Zähler verschwindet. Der algebraische Ausdruck muss dem- 

 luich in der allgemeinen Form 



r^) .0 ^.« + fa«' + Ca«- -f c^x + c^ 



