Neue Theorie d&r ultrailliptiaclien Functionen. 65 



enthalten sein, die auch für x,s = x, s und für .r^ 00:00^ wird. Da der Nenner für die beiden 

 demselben x entsprechenden Punkte: a', s und x', — 5' : 0^ wird, der Ausdruck rr> aber nur 

 für den Punkt a', s : 00' werden soll, so sind die Constanten des Zählers so zu bestimmen, 

 dass dieser auch für x = x, s ^ — s', 0^ wird. 



2. Die Constanteu e sind natürlich von x abhängig. Da der ö-Quotient rl eine symme- 

 trische Function der Punkte x,s und x', s' ist, indem die Quadrate der &-Functionen nicht geän- 

 dert werden, wenn man Ui\u., mit u[\u'., vertauscht, so folgt, dass der Zähler von (1) auch 

 eine symmetrische Function derselben Grössen sein muss, und es ergiebt sich die speciellere 

 Form : 



— A 3 



^"^ ■ ~ {x-x'f 



$ 3 



wo f[x) eine rationale ganze Function des dritten Grades von x, f{x') ebendieselbe Function 



von x\ und f[x,x) eine symmetrische Function der beiden Variablen, vom dritten Grade in 

 Bezug auf jede, bezeichnet. Die Constanten 7 und die übrigen in den Functionen y vorkom- 

 menden sind dann von x und x unabhängig. 



3. Die für die Coustantenbestimmung wichtigste Eigenschaft des &-Quotienten 7-2 ist die, dass 

 wenn man für x' einen beliebigen Verzweigungspunkt setzt, die Form rl in eine der Formen 

 + r\ des vorigen Paragraphen gemäss der Gleichungen (&) übergeht, indem dann iii\iL durch 

 Halbe der zusammengehörigen Periodicitätsmodulen sich ausdrücken. Jede Form i-'l ist aber in 



dem allgemeinen Ausdrucke 



mx"- -\- m^x -\- m.2 



nx" -)- 7i^x -\- n.2 



enthalten, wo einzelne der Constanten auch sein können. Soll der letzte Ausdruck r! unter der 

 genannten Bedingung in diese Form übergehen, so muss das s aus dem Zähler wegfallen, 



3 



wenn man für a/ einen endlichen Verzweigungspunkt, d. h. s' = setzt. Da nuny(.r'} nicht für 

 alle fünf endliehen Verzweigungswerthe verschwinden kann, so muss nothwendig die Constante 

 Y^, =: sein, und wir gewinnen den einfachen Ausdruck: 



(3) ,.i^Q ^^^+fif^. 



{x—xj 

 wo 



f[x^x') = öjCcV^ + «3 (xV^ + a-'V'^) -f «3 (.i-V -J- a-x"'^) + ^'«V" -f a^(x^-\-x'^) + Og (.rV + xx''') 



-{- 07 {x- + x'-) + ßgxx' + 0,9 (x-)-x') -H ßio 



und die Constanten a beliebige von x und x' unabhängige Grössen bezeichnen. 



Wie schon sub 1. bemerkt, sind die Constanten des Zählers so zu bestimmen, dass der- 

 selbe zugleich mit dem Nenner für den Punkt x = x , s^ — s, verschwindet und zwar 0' wird. 

 Es entsteht die Bedingungsgleichung: 



-2.r -f/(x,x) =0 

 oder 



— 2x (1— x)(l— xu')(l— Xv-)(1— ix^r) + a,x' + 2a,x' + {2a, + a,) x' + 2 {a, + a,) x' 



+ {2a, + a,) X- + 2a<.x + a,, = 0, 



Denkschriften der mafhem.-natuw. Cl. XXIV. Bd. Abh^udl. von Nithtmilgliedera. l 



