Neue Theorie der ultraeUiptischen Functionen. 67 



mit den ihnen äquivalenten obigen, die die vier Constanten enthalten, ergeben sieh dieWerthe 

 dieser vier noch übrigen als Functionen der Grössen z, X, \x, und somit ist der algebraische 

 Ausdruck für ri in allen seinen Constanten vollkommen bestimmt. 



Wir wollen nach dieser Methode eine beliebige der zehn möglichen Formen bestimmen 

 und wählen dazu z.B.: 



Q.2/1 



Es folgt: 



r.; 



--(iu)(^'. + i^ + i- h'^ — y + -T + ^-) .&-(;;)(«,!«,) 



^Hn)("' + y + "f I «= - T + "-r + T-=) •^XSyO'.l«.) ' 



(xüi) -(i;) («. + ^= I «= - f + ^) -xiyc«^ I «0 ■ 



Aus dem Formelsysteme {F^ entnehmen wir jetzt die algebraischen Ausdrücke für die zu- 

 letzt stehenden ö-Quotienten und finden: 



„ xX (1 — x) (1 — fJ.-.r) /-( 1 + ";*' + '^-'•'^' 



?•.; = ^ . = G ; 



x/,x,Xi rc(l— fxVj (i^+03 + «ä) «' + iPi—Pi — a^ + r,-} .v — («:,+«; + !) 



n = • -. — = (^ -. • 



(x'=l) P-/ f^X X — 1 X—1 



Aus diesen Gleichungen, die für jeden Werth von x gelten, bestimmen sich die Constanten 

 wie folgt : 



C= -^ — ; «3 = — K (><' + ^^') ; «ö = r ; "7 = — (1 + ^'0 ; 



y-i h fix (J-x 

 die übrigen a ergeben sich in Folge dessen aus den Gleichungen («) des vorigen Paragraphen 



3 



durch X, X, jx ausgedrückt, und es erhält/(a', x) durch Einsetzen dieser Werthe die Form: 



/(x, x') = -^'Xy {x'x" + x'x") — }x= (-a' + X') {x\v' + xx") — 2yrV (1 +;x-^) x'x' + ii' {x' + x") 



-f (x- + X- + >^'>^' + =<y + >^y) (jr^f + xx") — (1 + k) (x- + ,r'-) — 2 (x- + >^') a-^' + ■'■ + •»' 



= X (1— .r) (1— xV) (1— XV) (1— F.r) + x' (l—x") (1— x-.r) (1— Xvr) (1— [xV) ; 



daher 



y.l 2ss' + X (1-x) (1— x-'.r') (1— r^') (1— /a"«) + x (l—x) (1— x-a;) (1— X'x) (1— .alr') 



Eben so einfach ergeben sich die algebraischen Ausdrücke für die übrigen neun Formen 

 rl, wo die ö-Function im Zähler gerade ist; man findet, dass die sämmtlichen zehn vorkom- 

 menden Functionen y"(.r, .r') aus der zweigliedrigen Form 



/ = ^. (!_.,.) (l_-/x) {1-K\v) (1-fxV) + a'' (l-.r') (1— xV) (1— XV) (l-i^V) 



