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Eine Menge interessanter anderer Eelationen zwischen 0-Functionen und algebraischen 

 Formen ergeben sich aus dem obigen Formelsysteme, die wir als unserm Ziele ferner 

 liegend übergehen. 



Die Zähler der algebraischen Ausdrücke sub [F.^ sind wie die Nenner vollkommene 

 Quadrate, und es ist leicht für jeden die quadratische Gleichung aufzustellen, die die Werthe 

 X der beiden Punkte, für die der Quotient 0" wird, als Functionen des Werthes x giebt. Die 

 zugehörigen Werthe von s finden sich dann durch directe Betrachtung des Zählers. So ist z. B. 

 der Zähler aus Formel 15: 



ing 



4. ;,. (l_x') (1— x'-'.r) (1— XV) (1— fV) + X il—x) (1 — -/.r') (1— Xvr) [l-i^x) 



= [ \'x(\—x') (1— /^.r) {l—X'.r) {\~-\>"-<-) + V.r'(l— ,f) (1— xV) (1— )r.r) (l_[xV)]' 



wo das positive oder negative Zeichen zwischen den Quadratwurzeln stehen muss, je nachdem 

 man sich im obern oder untern Blatte der Fläche befindet. Die beiden Werthe von a;, für die 

 dieser Zähler nicht zugleich mit dem Neuner U" wird, ergeben sich in Folge dessen aus der 

 (ileichuiig: 



x{l—x) (1— -/^r) (1— >:V) {l-[rx) = x'{l—x) (1— xV) (1-Xvr) (1— [iV), 

 die eine auszuscheidende Wurzel x = x' hat und demnach sich auf eine quadratische reductrt. 



Das Formelsystem dieses zweiten Falles hat schon Rosenhain aufgestellt (Grelle, Bd. 40, 

 pag. 322, Briefe an Jacobi). Merkwürdiger Weise hat er weder die Möglichkeit der Speciali- 

 sirung bemerkt, die darin besteht, dass durch Einsetzen von Verzweigungswerthen für x' 

 diese Formeln in Formeln des Systems (i^j des ersten Falles übergehen, worin zugleich die 

 Prüfung der llichtigkeit der Constanten für uns liegt; noch auch, dass dieser zweite Fall nicht 

 der allgemeinste ist, wo Quotienten von ö-Functionen sich algebraisch ausdrücken lassen. 

 Eben, die Auffassung des Problems nacli Jacobi bietet keinen Anlass zu derartigen Betrach- 

 tungen, während die Behandlung der i)-Fuuction als Function einer Variable naturgemäss 

 zu dem allgemeinsten Falle hinweist. 



§. 24. 

 üiiKcr Fiill: 



dui + j du^ I / duo + / du... 



Der allgemeinste und letzte Fall ist derjenige, wo das Constantensystem /J/j als ein 

 ganz beliebiges ohne besondere Nebenbedingungen gegeben ist, und es ist die Aufgabe, auch 

 für diesen Fall 



algebraisch auszudrücken. Wie auch das System /J/, l^eschaftcn sein mag (es darf nur nicht 

 ;^ 0|0 sein), so lässt es sich innner uiul nur auf eine Weise Summen von je zwei Inte- 

 gralen congruent setzen, so dass 



— /i| — fi^^ / '-fi^i + / '^"i I / <^".' + / (f'^-j 



- «<" + Mf Im«'^ + ii^K 



