Neue Theorie der ultraelUptischcn Functionen, 71 



Per Ausdruck R und alle durch gegenseitige Division zweier Ausdrücke B mit demsel- 

 ben Nenner und verschiedenen Zählern entstehende Quotienten sind dann in der allgemein- 

 sten Form 



enthalten, und es giebt wie früher fünfzehn Ilauptformen, indem zu einem Nenner fünfzehn 

 verschiedene Zähler gehören können. Wir wählen vortheilhaft als Nenner diejenige P'unction, 

 deren Nullpunlcte wir kennen, es ist dies: 



= 0\ wenn ,r, s = x,, — s, , 

 ^ ' ' ' ' 1 I - ' - ' - •' z= 0\ wenn .r,s = ;r.„ — 5.^ 



indem dann die Argumente sich auf uf'\u':f und auf 'u[^^\u'.P resp. congruent reduciren; ihre 

 Charakteristik ist bekanntlich ([JJ!). Bctraeliten also 



so hat dieser Ausdruck folgende Eigenschaften. 



1. Da die & im Quadrate vorkommen, so nimmt er an allen Querschnitten den Facfoi- 

 + 1 an, ist also eine wie die Fläche T verzweigte algebraische P^unction und folglich rational 

 durch X und 5 ausdrückbar; er wird cx)'^ für die beiden Punkte x^, — .s, und .r.j, — .v., , fiir die 

 die im Nenner verschwindet, und 0^ für die beiden von a'i und .t,j abhängigen Punkte, lur die 

 die ö im Zähler verschwindet. 



Der algebraische Ausdruck fiir ri; ist (nach §. 20) in der Form 



c,s + c,x' -\- c^x- -f c^x + c^ 

 F = 



7i« + 7^«' + lr,x- + y^x -f 75 



darstellbar; der Nenner ist so zu bestimmen, dass er für die beiden Punkte a'i, — s^ und 

 a',_>, — s., : 0' wird, und der Zähler so, dass er für die beiden Punkte, für die der Nenner 

 ausserdem noch 0' wird, auch verschwindet. Da diese Bestimmung nur schwierig und nicht 

 in eleganter Form durchführbar ist, so nehmen wir eine algebraische Form , in der Zähler 

 und Nenner von höherem Grade sind, indem wir zum Nenner die vollkommen bestimmte 

 symmetrische Function (^x—x^)' {x — 2\,)" (x^ — x^)'^ wählen, die für die beiden Punkte x,s = x^, — s, 

 und x,s= 2-2, — *o, für die die {> im Nenner verschwindet, 0"' wird, und ausserdem noch 0" für 

 die beiden Punkte x,s = a-j,.?, und x,s = x^^s^. Der Zähler muss dann von demselben Grade 

 in Bezug auf x sein wie der Nenner, da für x =^ oo rl weder noch oo wird, so dass der 

 algebraische Ausdruck für ?-i in der allgemeinen Form 



, . ^3 _ (c,x + f-J .s + v,.r' + 7,3/ -f y,x' + V^.g -f 7, 



^ '' ^'^ ~ (x—x,f (x—x,)- («,—«,)' 



enthalten ist, wo die Grössen r und •( von x unabhängige Constante bezeichnen, die Functionen 

 von Xi und x^ sind. Zähler und Nenner dieses Ausdruckes werden für .r = 00 : oo**, also auch 

 für acht Punkte 0'. Da rl nur für x, .y = ,r,, — s, und x,s = .fo,— ä. : 00'- werden soll, so sind die 



