72 Friedrich rryvi. 



Constanten des Zählers so zu bestimmen, dass er für die beiden Punkte .r, s = a-j, s^ und .r, s = a-.,, s.,, 

 für die der Nenner ausserdem noch 0'^ wird , auch 0" wird. Dies giebt vier Bedingungs- 

 ei eichungen, so dass von den sechs unabhängigen Constanten des Zählers (abgesehen von 

 einem constanten Factor) nur noch zwei willkürlich bleiben; rj Avird dann cx)' für die beiden 

 verlano-ten Punkte und 0^ für vier Punkte x,s, durch deren paarweise Gleichsetzung zwei Be- 

 dino-uno-so-leichungen entstehen, die die beiden noch übrigen willkürlichen Constanten des Zäh- 

 lers bestimmen; eine Bestimmung, die auf so viele Weisen möglich sein wird, als in dem 

 i)-Quotienten r'l Formen enthalten sind, die für dieselben beiden Punkte oo^ werden, d. h, auf 

 fünfzehn verschiedene Weisen, da es eben so viele Hauptformen giebt, die für dieselben 

 beiden Punkte oo" werden und sich nur durch die Punkte, wo sie 0'^ werden, unterscheiden. 

 2. Um die Constanten des Zählers, die Functionen von x^ und x^ sind, zu bestimmen, 

 betrachten wir die Eigenschaften des 9-Quotienten 7-3, dessen wichtigste darin bestellt, dass er 

 eine symmetrische Function der Punkte: x,s : x^^s^ : x^,s^ ist, indem die Argumente der 0-Func- 

 tionen ganz unverändert bleiben, wenn man ii^\uo, mit ?4^'|i4''> oder ?(</^j?4'^ mit i(^\ii^ vertauscht. 

 Demnach muss auch der algebraische Ausdruck für rl eine symmetrische Function dieser drei 

 Punkte sein, und da der Nemier schon eine solche ist, so sind die Constanten des Zählers als 

 Functionen von x^^s^ und .r,, s^ so zu bestimmen, dass derselbe sich nicht ändert, wenn man je 

 zwei der Punkte: x,s : x^,s^ : .r^,*., mit einander vertauscht. Bezeichnet man den Zähler bis auf 

 einen constanten von den drei Grössen unabhängigen Factor mit Z, so ergiebt sich demnach 

 für ihn die folgende symmetrische Form: 



(2.) Z =85, s, \pxoc^x., -\-2h (•^■•^'i + ^'•'-'■i + '^'i-^'-i) +i>2 G^" + »'i + a'2) -^Pi\ (!•) 



+ [5.S1 a-a-i /(xo) -f ss.^ xx^ f{x,) + s, s. x, x., f[x)\ (Tl.) 



-f [ss, (x + ,rO f.i:^ + SS, (x + X.;) fj^) + s, s, (.r, + x,)/(7j] (III.) 



+ [ssj.^+ssj.^+s,s,f.jxi\ (IV.) 



+ \sx cp (.ri , 2-2) -f «1 a-i cp (.r, x.) -f *'.> Xo_ '^ ( x, x, ) J ( Y. ) 



-f [ä 9i(x„ x^) A- s, cpja-, .T.,) -f S2?j(^) ^i)\ r^I-) 



+ i^(x-,x-„x,) (YII.) 



In diesem Ausdrucke bezeichnen die Functionen /, /,, f, rationale ganze Functionen des 

 vierten Grades der betreffenden Variable, die Symbole 9, 'f , ganze symmetrische Functionen 

 der beiden unter dem Functionszeichen stehenden Variablen, vom vierten Grade in Bezug auf 



jede, und endlich bedeute i^(x,Xi,a'2) eine ganze symmetrische Function der drei Grössen, in 

 Bezug auf jede vom vierten Grade. Die Constanten p und die übrigen in den Functionen 

 \^orkommenden sind dann von den Grössen .r, .?•,, .r> unabhängig. Dass in dem Ausdrucke für 

 ^ kein Glied, welches vorkommen muss, fehlt, erkennt man sofort, wenn man sich Z nach 

 den Potenzen einer Variable geordnet denkt, so nach s.r, ,s, x^ a-^ • • • > und die Coefficienten 

 dieser Potenzen betrachtet, die bis auf ein und denselben constanten Factor den Grössen 

 t',, 6-.,, "Ci, '{.,. . . in dem Ausdrucke (1.) äquivalent sind; man findet dann, dass diese Coefficien- 

 ten wieder in der allgemeinsten Form (rja-, + r,) .v, + y'i jj + 7I •''J . . . .enthalten sind, wo die 



