Neue Theorie der ultraelliptischen Fioictionen. 73 



Grössen c' und y' Functionen von x„ sind, die wieder die allgemeinste Form in Bezug auf die 

 Variablen 5o und x, besitzen. 



Eine weitere Eigenschaft des ö-Quotienten 7-1 besteht darin, dass wenn man für ;r, einen 

 beliebigen Verzweigungspunkt einsetzt, die Form rg in eine der allgemeinen Formen + rl des 

 zweiten Falles (wie sie in dem Systeme (_F!,) enthalten sind oder sieh durch gegenseitige Divi- 

 sion je zweier Formeln desselben ergeben, nachdem man vorher statt der Argumente 

 ztj — Ui\ih — 2(3 die neuen »i + 2<i'^|?f2 + t4'' eingeführt und dem entsprechend in den äquivalen- 

 ten algebraischen Ausdrücken statt »■' : .Tj, statt s : — s^ geschrieben hat) gemäss der 

 Gleichungen (&) §. 21 übergeht, indem dann u^^'^\ii^p durch correspondirende Halbe der 

 Periodicitätsmodulen sich ausdrücken. Jede Form vi ist aber, wie sich aus [F._) ergiebt, in dem 

 allgemeinen Ausdrucke 



^1**1 +/(•») -^'O 



enthalten, wo f und f^ symmetrische Functionen des dritten Grades in Bezug auf jede 

 Variable bezeichnen, und die von .r und x^ unabhängigen Constanten c\, Yi> so wie einige der 

 in den Functionen y, f^ enthaltenen in speciellen Fällen auch sein können. Man sieht, dass 

 in dem Ausdrucke für rl die Grössen s und s^ nur in der Verbindung ss^ und nicht für sich 

 allein vorkommen; daraus folgt, dass wenn man in dem algebraischen Ausdrucke für 7'i 

 statt X.2 einen beliebigen endlichen Verzweigungspunkt einführt, d. h. 5., = setzt, alle die 

 Glieder wegfallen müssen, die s und s^ gesondert enthalten. Solche Glieder finden sich in 

 den Klammern (V.) und (VI.) und es muss also 



so wie 



.s j.T'f(.rj,:r,) + 'f ,(.ri, .r.) } 

 s, j,rjcp(.r, .r.) + cp ^(.f, .r.,) } 



verschwinden, wenn man für x.^ einen beliebigen endlichen Verzweigungswerth einführt. Da 

 nun die Functionen cp und cp^ als vom vierten Grade nur für vier Werthe x.^ verschwinden 

 können, nicht also für alle fünf endlichen Verzweigungswerthe, so ist das Verlangte nur 

 möglich, wenn die Coefficienten der sämmtlichcn Glieder in cp und cpj den Werth haben, so 

 dass folglich die Terme (V.) und (VI.) in dem Ausdrucke für Z ganz wegfallen. 



3. Wir gehen jetzt dazu über, die Constanten des Zählers Z von 7-1 so zu bestimmen, 

 dass derselbe, wie sub 1. verlangt wurde, für die beiden Punkte: .r,« = x^,Sy und x^ 6=:2-.,, *%, 

 für die der algebraische Nenner 0" wird, auch 0' wird. Haben wir ihn einmal für einen 

 Punkt so bestimmt in seinen Constanten, so hat er dieselbe Eigenschaft auch für den andern 

 Punkt, da er eine symmetrische Function dieser beiden Punkte ist. Setzen wir nun .r^^.r, 

 Äi = 5, in Z ein, so geht dieser Ausdruck in eine Function zweier Variablen x und .r., über, und 

 ordnet man nach den Potenzen von x.^ : s.^x.^, s.,, xt. . . , so müssen natürlich die Coefi'icienten 

 dieser Potenzen sein, wenn anders Z für den Punkt XyS ^ x^^^s^ verschwinden soll, wie 

 auch der Werth von x., als der dritten Variable beschaffen ist. 



Der Coefficient von SoX., in Z ist aber: 



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SS, [jyxx, + JJ:(.r + X,) +2X,] + [sxf[x^) + s,x,f[x)] + [*/,(.ri) + -s/ii-*-;] '' 



l>enk:^cll^iften der niatlieni.-naturw. Cl. XXIV. I>d. Abliandl. von Nichtmityliedern. K 



