Neue Theorie der ultraelliptischen Functionen. 



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Der Ausdruck für rg war in der allgemeinen Form 



C.Z 



(x — xif (x — x.,j'" (a'i — x-if 



enthalten, wo C einen von den drei Grössen x unabhäno'iffen Factor bezeichnet. Führen wir 

 die siib 3. erhaltene specielle Form für Z ein, indem wir sie mit ( — 2) multipliciren und diesen 

 Factor bei i^ in die noch unbestimmten Constanten verlegen, so können wir auch schreiben: 



(4.) 



n = C. 



— • 2ä'.5'j {x — .ro) (.?'i — x.^ (mx'i + my''., -\- m.,) 

 — 2.s-i'2 (x — .rj) (.r, — x^) {mx; + m^x^ + ■m.,) 



Z&^So [Xj 



■r) {x, - 



^ 



+ F(:r, .rj, ,r,) 



[mx- -\- m^x + m.^) 



(x — x,)- (.r — .r,)- [x,~x,)- 

 und es hat i^als symmetrische Function des vierten Grades die Form: 



F{x,x„x.^ = c, x-'xlxt + c,(x'x\xl + ^'44 + x'x\xi) + c,(x'xl4 + x*xl4 + JTxlx^ 



+ c, 



+ e, 

 + Ck, 



x'x^l + a:^a-lai + a-':r^.r^) + c, {x'x^xl + x'44 + x^x^x^) 

 x^44 + x\44 + xKvUi + r'xl4 +x'xixt, 4- x'4.4) + c, x^x\4 



,A>,4 



x\ + x^4 + x\xV) + Ca (.r-'.r-J.rJ + x^^-Jx^ + af'x\x^ + .r'.r^i-^ + x^^x'^ii + .r'.r^^,^) 



'x*.rf.r! + x-x\xi -\- x-x'^x"^^ -\- f'u [x^x\xl -\- x^44 + '-^'44) 

 {x\r\ + ^■='.r| + x'4 + :^''.r^ + .r|.r^ + x^xt) + Ci3(.r'.r?x^ + .r'',rjx^ + .r^.r|^4 + 

 + x'x^x^ + Jirx\;ii + .r\rj.r^) + c,^{x\r\xl + .t'lrj.r^ + .r'a'J.r^) 



o o , '^ 3 *> 1 •■> '^ .1 \ I / 4 "^ i '^ 4 I 4 2 I '^ 4 I 4 2 1 2 4 \ 



.:*■ .j:'i.rr, + x~x\x:2 -\- x'XyrV) + c^^ (x x^ + x- .r j + x xl + .r .r^ + .ri.rö + '■,.<•_,) 

 ^.r-'.rj.r.^ + x'x*.r^ + x'x\x^?} + CjsGr'.r? + x^4 + .r^x,^) 

 >^.r?xj + x'x\xl + .r-.z-?.r;l + .r^xj^z-^ + ^x\3^ + x^x^x^) + c^j^x\4 

 'x\r\ + x\rl + x\ii + .r'.r^ + .r^.d + x\x^ + c.3(.A? + x'4 + x^.K + 

 + x-.r^ + 44 + xi.r^) + C03 (x'xjx^ + x'.r?xj + x'3-\xV) 



{x-44 + ^''-^'I-it' + ■'^4-^fl + c'25 (-i'* + 4 + -^l) 



(x^a-; + x^x? + x'4 + x\r^ + 44 + xjx^) + c„, {jc'4 + x"x^ + ;^ 



(x-x;x^ + x^xjx.^ + x'x^x^ + c,>9 (x' + x\ + x^) 



(x'^x] + x\ri + x^xi + .r'.rr; + 44 + xjx"^) + c^.xx^v., + c-3.2(.r-' + ./•; + .r^) 



(xXi + -r-i-v + Xy^:^ + C'SJ (-^^ + ■'^'l + X-^ + ^^35- 



Die fünfunddreissio- Coustanten r- in i^sind so zu bestimmen, dass der Zähler von ;•:' ver- 

 schwindet und zwar 0" wird , wenn wir darin Xj^x, s^ r=*, setzen. Für diese Bestimmung 

 ergiebt sich aus (4.) die Bedingungsgleichung: 



— 2.r(x — Xo)' (?»x^4- ?»j.r., + m.^ + F[x,x,x.^ =0 



