Neue Theorie der ultraelli2~it>sclien Functionen. 11 



IV. c,x^ + 2 [c, - m,p] x' + [2^3 + e,, + 2»^(;/j +p,) + 4»i.p] a;^ 

 + 2 [q j + c, — H^,Q^, +^,^,)_.2 w/p +py] x' 

 + [2e,, + 2f,3 + c,,+ 2m,{l +^,) + 4/«,(_p, +jx,)] a-* + 2 [c,^ + c,,—m—2m,{\ +^x,)] x^ 

 + [2c3(, + Cgi + 4;«,] x"" + 2c33a; + Cgi = ; 



V. c,x^ + 2 [ci3— »?,^^] a;' + [2c,, + e,« + 2'w,(p +p,)] x^ + 2 [c,, + c,^ —m-^p, +^x,)] x* 



+ [2c,, + 2a,e + (-3, + 2»^,(1 +p,)] .X* + 2 [c^^ + Cg«— ?«,,]. r' + [2c3, + C33] x^ + 2^3, .r + c,, = 0. 



Diese Gleichungen, die für jeden Werth von x gelten sollen, bestimmen vollständig das 

 System der Constauten c, indem die einzelnen Coefficienten der Potenzen von x alsdann den 

 Werth haben müssen. Dies giebt fünfundvierzig Gleichungen, von denen eilf eine identische 

 Folge der übrigen sind: so dass also von den fünfunddreissig Constanten c nur eine willkür- 

 lich bleibt. Das System der Constanten c ergiebt sich nun leiclit wie folgt: 



Cß =zmp; CT = — 6mp; c^ = m,p; c,, = — 2m,p—2m(p+p,)- c^, = 2m(p + p;): 



Cjo = m^p ; Cj3 = — m,p + vi (p, -f^x.) ; c,, = — 2m {p, -|-p,) — im, (p +pO — 2;/;, p • 



Ci5 = 2;»i {p +p,) + 2m.,p ; c,, = m ; c.,, = — m + m., {p, +2^d '■> 



C23 = — 2m — 2 /» 1 ( 1 +i\0 — 2 m, (p, +p.^ ; c,^ =2ui+ 2)i/,{l +^j,) ; c,^ = »?, ; 



Co; =: — 2;»i — 2iiK, (1 -f^Jo) ; <^'l>8 = '^"'-2 (1 +P2} ; C30 = ;»,,; c,, ^ — 6;»., : , 



Ci6=Cie; (-17 = — 2cje — 2;/?(l+jA,); Ci.,= — 2c,o — 2w,(p-f^;i) ; 



Cj9 = 2ci„ + 2;» (1 +po) + m, (i^+i?,) + 2«?, (i>+i?J ; 



c,, = — öcjs — 6?» (1 +j>,) — 6h?i (p, +p.^ — 6iii, (p +p,). 



Setzen wir diese Werthe in dem x\usdrucke i^an die Stelle der Constanten und bezeich- 

 nen zur Abkürzung den zum Coefficienten c„ gehörigen algebraischen Term mit ~, so dass 

 also i^ = Ci~-|-C2C^ etc., so nimmt i^ die Form an: 



F{x, x^, x.3)= vijyc^ — Qm2}~ + m,p~ — 2 [m,p + m {p +p,)] ~^ + 2m [p -f-^jj ~ + m.^i>~ 



— [m.^}—m{p, +p.^]~—2[m {p, -f 7*,) -{- m, (p +p,) + m.j)] ~ + 2 [m,(p +p,) + m.jj] ~, 



— 2m{l+2x;)~—2m,{p^p,)—+[2m{l+2J.^ + ?«:(i->i+p.) + 2m,{p+2h)]~ 



— 6 [»1 (1 +2^-2} + »h (Fl +Pd + '"-' (P +Pi)]~ + m~ — [m—m, {p, +p,)] ~, 



— 2[m + m,{l+2^-^ + 'n,{p,+P:)]~i ^^[m+m,{l+p._)]~ + m.~, 



— 2 [m, + ?Ho (1 +p.^]~ + 2 m, (1 +p,) ~ + m.,cZ— ewi,, % 



+ c,r,[~—2~—2~ + 2~—6~]. 



Man erkennt, dass i^ aus zwei Theilen besteht: einem vollkommen bestimmten Aus- 

 drucke und einem Gliede, dem letzten, das die willkürlich gebliebene Constante c^^ zum 

 Coefficienten hat. Der erste vollkommen bestimmte Theil lasst sich in die Form bringen: 



(x — X,) (x'i — Xo) {mxl + m^x, + m.,) _p ( a; ] x^) 

 + (x — Xi) (x'a — -x'i) (mxi-\-m^x^-^m.;,)p(x [Xa) 

 + {x^ — .r) (x., — x) (vix- + vi^x +m.,)p{x,\xo), 



wo p{x\ X,) =p {x'x^ + x-x',) — 2 {p ^p,) x'xl -f {p, -1-jx,) (x-x, + xx\) —2(1 -fp,) xx, -^x + x,: 



