Neue Theorie der ultraelliptischen Functionen. 79 



punkt ein, den wir allgemein mit v bezeichnen, so dass v jeden der seclis Verzweigungs- 

 punkte: 0,1,—, — ,— ;Oo: bedeuten kann. Dann drückt sich das System »,'-' j «[,'' durch 

 Halbe der correspondirenden Periodicitätsmodulen aus, so dass 



u^\v^=fdu, I f,lu, = ~'^7zi-\-i:ta^.^\-'trd-^^ta.,., 



wo die Grössen f die Werthe 0, 1 haben können und das v unter dem Summenzeichen 1,2 

 bedeutet (nicht zu verwechseln mit dem Verzweigungspunkte v). Unter Berücksichtigung der 

 Formeln {%) §. 21 , erhält durch Einsetzen dieser Werthe für ii}-p\u!-^'^ der &-Quotient rl die 

 Form: 



Entsprechend geht für a^ := v der algebraische Ausdruck r'l über in 



II. 



rl = C. [(-v---") C^i— v) ("(V-'+ m,v -f- w.) [— 2ss, + 2j(x 1 ^i)]| 



{x—x,y (x—vf (.r, — v)= 



wo B eine rationale Function bezeichnet, die kein s oder s^ enthält, indem aus der zweiten 

 und dritten Eeihe des Zählers sub (5.) die Glieder, welche — 2**., und — 2aj.s\, als Factor ent- 

 halten, wegfallen: sowohl für einen endlichen Verzweigungswerth v, da dann s.,^0, als auch 

 für den im Unendlichen liegenden Verzweigungspunkt v^cxd, indem dann dieselben Glieder 

 von niederer Ordnung unendlich werden (cx)') , als der Nenner (,r — .i\)' (x — v)- (a\ — -v)'", (c»**) : 

 und folglich gegen diesen versehwinden. Demgemäss bleiben von den drei letzten Reihen 

 des Zählers nur doch die Glieder übrig, die kein s oder s, enthalten, und ihr Complex ist mit 

 i?(a;,Xi, v) bezeichnet. 



Zu jedem der sechs Verzweigungspunkte v gehört nun ein bestimmtes System der 

 Grössen (''j/')) und diese sechs Systeme haben (vergl. §. 17) die gemeinsame Eigenschaft, 

 dass sie als Charakteristiken aufgefasst ungerade sind, so dass YiYi + T2Tj^-'- (oiod. 2): daher 

 ist die ö im Nenner von I. immer eine ungerade 0-Function. Zu einer jeden der fünfzehn 



Charakteristiken f'!^?! gehören sechs Charakteristiken f^',~|^!'^;' ,'';), da es sechs verschiedene 

 Systeme p;/;] g'iebt, und es fragt sich, wie viele von diesen sechs jedesmal ungerade, wie 

 viele gerade sind: oder mit anderen Worten, wie oft für ein bestimmtes System Pj^:] auch der 

 Zähler des Ausdruckes I. eine ungerade i)-Function wird, wenn man für v der Reihe nach 

 die sechs Verzweigungspunkte setzt und entsprechend für die ^ die zu jedem Verzweigungs- 

 punktc gehörigen Werthe. Um dies zu erfahren, addiren Avir zu jeder der fünfzehn Charakte- 

 ristiken p!'^] der Reihe nach die sechs Charakteristiken ('''/') und setzen immer, wenn ein 

 Glied £ -f Y = 2 sein sollte , dafür , indem man gemäss der Formeln (&) jede Charakteristik 

 so reduciren kann, dann erhalten wir sämmtliche Systeme f!'T.'^''!'T/-l i" tl'^i' folgenden 

 Tabelle : 



