Neue Theorie der ultraelliptischen Functionen. 81 



druck des Quotienten zweier ungeraden x>"-Funetionen mit den Argumenten u^ ± ?//' | u.^ ± «4'' 



in der allgemeinen Form 



(in -\- noe) (ni -f- tix^) 



(_m'-\-n'x) (in'-\-u'Xi) 



enthalten, d. h. er ist eine rationale Function von x und a\, die kein s oder Sj enthält. Soll 

 sich auf diese Form der Ausdruck II., der den ö-Quotienten sub I. algebraisch repräsentirt, für 

 v^Vj und v:^v2 reducireu, so muss für diese Werthe das Glied des Zählers, welches die Grösse 

 SÄi enthält, wegfallen, so dass nur noch die rationale Function i? übrig bleibt. Unter Zuzie- 

 hung des Nenners erhält man für das Wegfallen dieses Gliedes die Bedingungsgleichung: 



(v.) ^ ^ ' = 



(x — v) (x, — v) 



und es erhellt, dass die beiden Verzweigungspunkte Vj und v.,, für die die i> im Zähler von I. 

 ungerade wird , die Wurzeln dieser Gleichung sein müssen. Die zu einer bestimmten Charak- 

 teristik P;^;] gehörige Function mx'-^-m^x + m., in dem algebraischen Ausdruck sub (5.) muss 

 demnach so in ihren Constanten beschaffen sein , dass sie für jeden endlichen Verzweigungs- 

 punkt verschwindet, dessen System (/'/O so beschaffen ist, dass r!j]''l'^?T^A eine ungerade 

 Charakteristik; und ist einer der beiden Verzweigungspunkte v^, v,, die in Bezug auf die be- 

 stimmte Charakteristik diese Eigenschaft haben, oo, so muss m = sein, da er sonst die Be- 

 dingungsgleiehung (v.) nicht erfüllen kann. Mit Berücksichtigung unserer Tabelle ergiebt sich 

 demgemäss für jede Charakteristik yfj] die zugehörige Function mx^ -f m^x + «^ =y(-^') ^^^ 

 auf einen constanten Factor (dem wir immer den Werth 1 geben können, indem die Constan- 

 ten C und c im Zähler sub (5.), die dies beeinflussen könnte, noch unbestimmt sind) wie folgt: 



Ci3 = (-) ' ^^O = (l-x"r)(l-rx) ; 8. (;j) = Q , fix) = 1-K-^:; 



. =Q:f(x) = l-)cx^ 9. „ =(-),/(.r) = .r(l-Xlr); 



1. 



3. „ =Gl),/(x) = .r(l-K-r); 10. „ =p,/(.r)==,r(l-.r); 



4. „ = GJ) , yi^.r) = 1-x; 11. „ =ill),f(x) = {l-K-r){l-i.-r); 



5. . = ill) , A^) = -i- {l-y".r) ; 1 2. „ = (J?) , M = (l-x^r)(l-^^r) ; 



6. „ =(-),/(a-) = (l_.r)(l-X^'a'); 13- . ^ Ql) , fi^') = x; 



7. „ =(-),yix) = (l-.r)(l-xlr); 14. „ = (JJ) , /(x) = 1-x^.r; 



15. ClJ) = (J!) , Ä^) = (l-.r)(l-rx). 



Nachdem wir so sämmtliche Functionen mx' -\- m^x -\- m., kennen gelernt, bleiben, wenn 

 die Charakteristik {^ff\ festgesetzt ist, in dem algebraischen Ausdrucke für rl nur noch die 

 beiden Constanten C und c unbestimmt. Diese bestimmen sich leicht, wenn man für .r., einen 

 bestimmten Verzweigungspunkt, z. B. Xn^Q setzt: dann geht der Ö- Quotient r'l in einen 

 ö-Quotienten ± n des zweiten Falles über, der sich vermöge der Formeln (i^o) bestimmt alge- 

 braisch ausdrücken lässt, und durch Vergleichung dieses algebraischen Ausdruckes mit dem 

 Ausdrucke rl , der die Constanten C und c enthält, bestimmen sieh diese letzteren auf einfache 



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 Denkschriften der matliem.-uaturw. C'l. XXIV. Bd. Abbandl. vou Nichtiuitgliedern. ' 



