Neue Theorie der ulirdellvpüsclien Functionen. 



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T. m ^ 0. Für diesen Fall setzen wir: 



dann erhalt man aus der Gleicliung (F^.) durch Einführung von cp und Ausführung der Multi- 

 plication die Bedingung: 



und da die Grösse f ganz Tv-illkürlieh wählbar ist, so kann mau auch den Grössen a jeden 

 beliebigen Werth zidegeu. Setzen wir diese Function cp in der Gleichung (Fj.) ein und führen 

 das Eesultat in den Zähler von 1% ein, so wird: 



(7,-) 



n = c. 



+ (.T— Xi) (.r,— .Ti) (««■; + 'H?ia:j + ?»,) [— •2.y5, + P„(.r |.r,,)] 

 + (.r j — .T ) (.r, — .r ) (»^..r' \m^ x + 7«.,) [ — 'Is^s., + P^(xi ] x,) ] 



+ C 



(.r — x^f (.r — ,r,,)- {x^~x^f 



—2(1 +p,) .r,r, + .r + r, + [r,,r.r, + a, (.r + ,r,) + «3](,r— .r,)'^ 



wo mau die Werthe der Grössen a ganz beliebig wählen kann, und sind sie für die ein- 

 zelneu ö-Quotienten r\ festgesetzt, so bestimmen sich die Constanten C und 6" in jedem 

 speciellen Falle durch Einsetzen von Verzweigungswerthen in die Doppelgleichung für r\. 

 Wir wollen nun entsprechend den zehn Functionen/(a;), die wir an die Stelle von mx" -\-m.^x-\-m., 

 in (7^.) setzen können, wenn wir demgemäss die Charakteristik der ö-Function im Zähler 

 des ö-Quotienten r\ wählen, auch zehn Functionen FJ(x\x^ anwenden, und nehmen dazu die 

 zehn, die aus der zweigliedrigen Form 



,■ (l-.rO (1— /^^-O (l-X-^rJ (l-F-rO + .r(l-.r) (1-xV) (l-}r,r) (l-jr.r) 



entstehen, wenn man im ersten Gliede zwei Zeichen a-j durch zw-ei Zeichen x ersetzt und an 

 denselben Stellen im zweiten Gliede zwei Zeichen .r durch zwei Zeichen x^ , so dass der Aus- 

 druck eine symmetrische Function der beiden Variablen bleibt. Von diesen Functionen wissen 

 wir schon aus §. 22 und 23, dass sie in der allgemeinen Form PS^\'^^ enthalten sind. Wir 

 theilen sie den zehn Functionen /(x) in nachstehender Eeiheufolge zu: 



Functionen 



x{\ — .r) : 



a-(l-xV): 



.r(l— X-,r): 



.r(l— [x-.r): 



(1 _.,)(! _-^,): 



(l-.r)(l-r.r): 

 (l_x^r)(l-A^r): 



Functionen 



Fa{x\x^ 



X (1— .r )(1— x^r,)(l— X--'/V)(l— ■oLVr,) + .r,(l— .rJ(l-xV )(1— Xlr ){\—^x) 

 X (1— .r,)(l— x--'.r )(1— Xv-,)(1— iJLVi) + .r,(l— .r )(1— x--V,)(l-Xv' )(1— K-r ) 

 X (l_.r,)(l- xlr,)(l-X-'.r ){\-~^ x ^ \ x S^—x )(1— x'^r )(1 _X-\r,)(l— F-^' ) 

 X (l_.r,)(l— x--'.rO(l--A--'.r,)(l— aV ) + .r,(l— .r )(1— x^r ){\-X-x ){\—^:x,) 

 .r,(l— .r )(1— xV )(1-Xvr,)(l— F-rO + .t- (1— .r,)(i— ;fvr,)(l-A^r )(1— [ivr ) 

 ^-,(1— .r)(l— xVO(l — Xl/j(l— fxV,) + ,r(l— .r,)(l--xlr)(l— Xlr,)(l— irx) 

 .r,(l— .r )(l-xV,)(l— Xlr,)(l-[.^>; ) + .r (l—./- )(1— xV )(1-X^r )(1— [xVJ 

 :r,(l— ;f,)(l— xvr )(1— X-Vr )(l-pLV;) + ,r (l~.r )(1— xvr,)(l— XV0(1— ali- ) 

 ( 1 __>,■-',,■) (l—ix-^r) : xlV—x^{\—rx ){\—Vx,){\--^'x)-^x (1— .r )(1— xlr,)(l— X'-'.r )(1— i^'^xj 

 (1-XV)(1— ir.r): .r,(l— .rO(l— x^'^)(l— XV )(1— [xV ) + ,r (1— r )(1— xlr )(1— ;rx/)(l-[xlr,) 



