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und das leitende Princip hierbei ist leicht zu erkennen, indem bei dieser Vertheilung die Func- 

 tion/ in jedem Gliede der zugehörigen Function PJ(x\x^ charakteristisch als Factor hervortritt, 

 und zwar im ersten Gliede als /"(.r), multij)licirt mit einer Function von x^ allein, entsprechend 

 im zweiten alsy(a:i), multiplieirt mit einer Function von x allein. Wir gehen nunmehr zum 

 zweiten Falle über, und es sei: 



II. in z=i U. Für diesen Fall wollen wir setzen: 



cp(;r|.rj) = öi(.r.ri + ;ra-,) -f h,{x"^-r^ + h.^xx^ + h^{x-\-x) + h^ 



dann erhält man aus der Gleichung (Fi.) durch Einführung der Function cp und Ausführung der 

 Multiplication, berücksichtigend dass vi =: 0, die folgenden Bedingungen: 



und da y ganz Avillkürlich wählbar ist, so kann man den vier Grössen öj, 63, b^, 65 beliebige 

 Werthe zulegen, und es bestimmt sich dann b^ aus der Gleichung b{)n.^ = b^^vi^. Wir setzen nun 



pni„ 



6j = p ; b.. = bo — (i^+i'i) '■ daher b., := 

 so wird 



{x—x,y 'f{.r\x,) =2){x\r, + xx^) — p{x'xl-\-x""x^) — {p+2Ji) (.rV, + .r.c?) -f 2 Q9+i?i) x'xl + 



+ [ ^-^ {■r' + .ri + XX,) + b, (x + .T,) + b,] {x—x,y ; 



und wir erhalten anter Anwendung der Gleichung (F,.) für /-g den Ausdruck: 



(7..) n = c. 



{x — ,T.>) (x, — Xo) (?)■>, x., + m.,) [ — 2.SS1 +ri,{x |.rj)] 

 + (./•— .ri) (x.—x,) {m,x,-\-m,) [ — 2sSo +Pi{x |x.,)] 

 + {x,~x ) (.r,— X ) (vi, X + m.;) [—2s,So + P, {x, \ .r,)] 



+ C' 



(.r — X,)- (.r— x-o)' [x^—x^)' 



P,{x\x,)=p{x\x,) + (.r— rri)-cf(.r|.ri) =p,{x\x,) +[^(:r- + .fl + ."v) + b^{x^x,) + Ä,](.r— .ri)-; 

 pj(.T|:r,)=_/^(.i''.ri + .ra'|) — (p+jJi)(,r'.rj + .r.r]) + (p,+j5,)(.r-,ri + .r.r'f) — 2(l+_p,) ,r.r, + .r + .r,: 



wo die beiden Constanten b^ und b^ ganz beliebige Werthe haben können, von deren Wahl 

 natürlich der Werth der Constante C" abhängig ist. Wir wollen, geleitet durch die sub I. 

 bezüglich der Functionen PJ^x\x^ gewonnenen Anschauungen, untersuchen, ob wir analog 

 als Functionen P,^[x\x^ nicht die fünf anwenden dürfen, die aus der zweigliedrigen Form 



.r,(l-.r.) (1-xVO (1-r.r,) (l-K-r,) + x{l-x) (1-x^r) (1-X^r) {l-^'x) 



entstehen, wenn man im ersten Gliede ein Zeichen x, durch ein Zeichen x ersetzt (was auf 

 fünf Weisen möglich ist), und entsprechend an derselben Stelle im zweiten Gliede ein Zeichen 

 X durch ein Zeichen .Tj, so dass der Ausdruck eine symmetrische Function der beiden Variablen 

 bleibt. Diese sämmtlichen fünf Functionen sind in der allgemeinen Form 



P{x\x,) =p,{x\x,) + [ß(.x-H-r'f + .rxO + b,{x + x,) + b,]{x—x,f 



enthalten, die mit l\{x\x^) bis auf den Coeflficienten ß übereinstimmt, und man findet, wenn 

 man jede in diese Form bringt, für ß, entsprechend den einzelnen Functionen, die Werthe: 



