Neue Theorie der ultraelUpUschen Functionen. 



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Soll also in der Formel (7j.) zu einer bestimmten Function m.{X + m., eine der fünf spe- 

 eiellen Functionen ]?{x,\x^ als Pi{x\x^ gesetzt werden dürfen, so muss nothwendig das der- 

 selben speciell zukommende ß die Bedingung erfüllen: 



während die Grössen b keinen Einschränkungen unterworfen sind. Deragemäss kann man 

 von den obigen fünf speciellen Functionen P(x\x^) setzen: 



zu m^x + Wo = X (da dafür — ^ = )nur dieeineFunctionP(a;|a;i),fürdieß = ; 



= 1— .T ( „ 

 = 1— x-.r( ^ 



r> — P) n V V 



P 



V 2/ " " " 



- 1 



ß = 



u. s. w. so dass sich die fünf Functionen folgendermassen vertheilen 



Fun ct. 



Functionen 



Pö(x\x,) 



X : X 



(1— .r,)(l— xlr,)(l— X^^•)(l— fi-^xj + x,(l— .r )(l_xV j(l— XV )(1— [x=.r ) ; ß = 

 1^.^. : r,{l—x )(l-x-^.rO(l -X"r.)(l— ptlr,) + x {l—x,){l—x'x )(1— >r.r )(1— pt'-x ) ; ß = — p 

 1_>,V : .r,(l-.i>,)(l— x^r ){l—)cx,){l—ii\v,) + x (l—x )(1— x"r,)(l— X'-'.t )(1— fxV ) ; ß = — ^ 

 l_r^,^ : .,;^(i_.,g(l_-/.,.J(l_X=,r )(l_[x^rO + :r (l-.T )(l-xlr )(l-X^r,)(l-,x^r ) ; ß = 

 1 _^--',,. : .,. (1 _.,.j(i_./^.r,)(l— X'-'.rO(l— !^^r ) + x {l-x )(1— x^r )(1— X^r )(l-F-rO ; ß = 



X- 

 _^ 



und man erkennt, dass der anschauliche Zusammenhang dieser Functionen Pi,{x\xi) *imd 

 »?,lX' + w^2 ein ähnlicher ist, wie sub I. derjenige der Functionen P^(x\Xi) und mx' + mj:x + m.,. 



Diese fünfzehn charakteristischen Functionen P„ und Pf, wollen wir nun bei der Bildung 

 der algebraischen Ausdrücke für die iÜnfzehu Ö-Quotienten r'l anwenden, und wir haben dann 

 nur noch die beiden Constanten C und C" in jedem speciellen Falle zu bestimmen. 



§• 28. 

 Das Resultat der letzten Untersuchungen ist jetzt, dass die sämmtlichen fünfzehn d-Quo- 

 tienten r'l in der allgemeinen Form 



(^•) rl = 



C. r (x— a:„) {x\—x,) {mxl + vi,x, + m.;) [—2ss, + P{x {x,)] 

 + (x—x,) (.r.,— a'i) (mxl + m^x. + m.;) [—2ss., +P{x \x,)] 

 + {x,—x ) (xo— .r ) (mx- + m^ x + m^) [— 2s^s„ + P{x^ \ .r,)] 



+ C' 



enthalten sind. 



(.r — .rj- (x- — a'o)' (Xj — ajg)^ 



