8ß Friedrich Prym. 



Zu einerbestimmtenCharakteristik^VT] gehört eine bestimmte Fünction/(x)^»?.r^ + ?«ir + ???.,, 



die man passend die charakteristische Function des algebraischen Ausdruckes nennen könnte: 

 sie ist für jeden der fünfzehn Fälle im§. 26 aufgestellt bis auf einen constanten Factor, den -vvir 

 = 1 gesetzt oder, was dasselbe, in die Constante C verlegt haben, die für jeden Fall bestimmt 

 ist wenn die Grössen m bestimmt sind. Anders verhält es sieh mit der symmetrischen Function 

 P, die, selbst wenn fY'] festgesetzt ist und in Folge dessen auch f{x)^ noch die verschie- 

 densten Formen haben kann: sie muss nur in ihren Constanten so beschaffen sein, dass 

 r — 2.«! + P(.r |.ri)] 0' wird für .r^.i\, s^s^, (indem sonst der Zähler für x,.s = .i\,.s\ und .r.s = x.>, s., 

 nicht Ü- würde), und fei'uer so, dass der Complex der von s,.s,,s., unabhängigen Glieder des 

 Zählers in Bezug auf keine der drei Variablen den vierten Grad übersteigt, indem der 



rationale Theil des Zählers in der Form F[XJX^,x.^ des §. 25 entlialten sein muss. Wir haben 

 gefunden, dassPganz beliebige Constanten enthalten kann, und erst, wenn der Werth derselben 

 festgesetzt, ist die Constante C" in jedem speciellen Falle eine bestimmte. Es gelang uns, der 

 Eeihe nach den fünfzehn Functionen f{x) entsprechend, fünfzehn Functionen P{;x\x^) zu 

 finden, die mit diesen in merkwürdigem Zusammenhange stehen, und deren Einführung, durch 

 die Tabellen des vorigen Paragraphen festgesetzt, übersichtlicheEndresultate verspricht. Um also 

 die fünfzehn Hauptformeln zu erhalten, setzen wir in der letzten Doppelgleichung (8.) für Pi^'l 

 der Reihe nach die fünfzehn möglichen Charakteristiken: entsprechend für /(,r) die zugehörigen 

 Functionen aus §. 26 und für P(.TJ.r,) die ausgewählten Functionen des vorigen Paragraphen- 

 Dann bestimmen sich die beiden Constanten C und C in jedem speciellen Falle am einfachsten, 

 wenn man für x^ und x., zwei verschiedene Verzweigungswerthe einführt: dadurch geht das 

 System u[^^ -\- u'{^ \ ulP -\- u^p in Halbe der correspondirenden Periodicitätsmodulen über und ent- 

 sprechend der i>-Quotieut ri; in einen der allgemeinen ij -Quotienten ± r\ des ersten Falles, der 

 sich vermöge der Formeln (PJ algebraisch bestimmt ausdrücken lässt. Durch Vergleichung 

 dieses algebraischen Ausdruckes mit dem äquivalenten, der die Constanten C und 6" enthält, 

 bestimmen sich leicht diese letzteren. Setzen Avir also zur Abkürzung: 



so ergiebt sich, mit Berücksichtigung des Gesagten, das folgende 



Formelsystem {F.): 



^ a--V,l)(^..U<;,)^^ 



^'0{^'-:\>c,) 



-r 



+ c; 



P(.ri.r,) = r (1 _,■) (1— y/r,) ( 1 —XV) (1— l^i-'r,) + ./■,( 1— ,r,) [l—'rx) { [—)cx,) ( I — |x-'.r) 

 Constantenbestimmung. Für ./j = 0, ./■, = 1 : wiril tc\\w.,^ n, + -^|"i! + "^S daher: 



Aus (F^j ^. 21 l'olgt nun: 



■^'SX". I ".) _ _ xi,"-i ' —>•'■« |. j . . \ f! L__ • C ^ {) 



