Neue Theorie der ultraelliptischen Functionen. 91 



für jeden Werth von a» besteht. Man kann auf diese Weise aus jeder Formel (Fj), je nachdem 

 man statt s^: — Sj, oder statt s.,: — .y,, oder endlich zugleich statt s^ und s.r. — s, und ■ — *■., ein- 

 führt, drei neue ableiten, die in Verbindung mit der ursprünglichen eine Menge algebraischer 

 Formen durch Summen oder Difterenzen von &--Quotienten, deren Argumente in der allge- 

 meinen Form u^±i(l^ ±ii'l^\u.^ + u^^ ±iip enthalten sind, auszudrücken gestatten. 



§• -9- 



Unsere Aufgabe, die in der allgemeinen Form 



^C:::)(-^^l«^-:/;) 



0,1) 



darstellbaren algebraischen Functionen für jeden Werth von x und für ein beliebiges Con- 

 stantensystem ./"i ./'.. algebraisch auszudrücken, ist jetzt gelöst, indem aus dem letzten 

 Formelsysteme, durch Division je zweier der dort vorkommenden fünfzehn Hauptformeln in 

 einander, die Quadrate aller übrigen ö-Quotienten von der obigen Form sich algebraisch 

 ausdrücken lassen. 



Betrachten wir jetzt die sub {F^) gewonnenen algebraischen Ausdrücke genauer, so 

 zeigt sich die merkwürdige Erscheinung, dass bei unserer Wahl der Functionen P, die allge- 

 mein das Verschwinden der Constanten C" zur Folge hatte, sämmtliche Formen bezüglich des 

 Baues in naher Verwandtschaft zu einander stehen, und dass, abgesehen von dem coustanten 

 Factor C, der bei jeder einen besondern Werth hat, sie sich nur durch die zu jeder speciell 

 gehörige charakteristische Function f{x) , die lediglich den ganzen Bau des Zählers und 

 nach ihrer Verschiedenheit die Verschiedenheiten im Baue der einzelnen Zähler bestimmt, 

 unterscheiden. Eine weitere Frage ist demnach, ob der allgemeinen Farm 



entsprechend, aus der die betrachteten &-Quotieuten säramtlich resultiren, indem man statt der 

 symbolischen Charakteristik der Reihe nach die fünfzehn möglichen bestimmten Charakte- 

 ristiken einführt, nicht auch eine äquivalente algebraische Cardinalform existirt, in der die 

 charakteristische Function fl^x) in allgemeiner Bezeichnung dieselbe symbolische Eolle spielt, 

 wie die Charakteristik p! ^'] bei dem i)-Quotienten, und aus der für jeden einzelnen ö-Quotien- 

 ten der äquivalente algebraische Ausdruck erhalten würde, wenn man darin statt f(^x) die 

 specielle charakteristische algebraische Function einführte, die der jedesmaligen &-Charak- 

 teristik, gemäss des im §. 26 aufgedeckten Zusammenhanges, entspricht. 



Zu dieser Cardinalform gelangen wir, wenn wir bemerken, dass sämmtliche fünfzehn 

 Functionen f{x)-^mx^-\-mjX-\-m.i Theiler von 6-^=.r|(l — x) (1 — rx) (1 — X^;r) (1 — ^"x) sind, und 

 dass die zu einer Function f{x) gehörige Function P[x\:x*^ in jedem Falle (vergl. die beiden 

 Tab. §. 27 j so gewählt ist, dass die Relation 



Pix\x,) = -f-ßx,)-\--^f{x) 



